איך לפתור משוואה ריבועית: מדריך שלב-אחר-שלב

משוואה ריבועית היא משוואה מהצורה ax² + bx + c = 0 כאשר a ≠ 0. יש שלוש שיטות עיקריות לפתרון: נוסחת השורשים, פירוק, והשלמה לריבוע.

שלב 1: זיהוי המקדמים

מסדרים את המשוואה כך שכל האיברים נמצאים בצד אחד והצד השני אפס. אז קוראים את a, b, ו-c ישירות.

דוגמה. המשוואה 2x² + 3 = 5x נסדרת ל-2x² − 5x + 3 = 0, אז a = 2, b = −5, c = 3.

שלב 2: חישוב הדלתא

הדלתא היא הדיסקרימיננטה:

$$\Delta = b^2 - 4ac$$

ערך הדלתא קובע כמה פתרונות יש למשוואה:

• Δ > 0: שני פתרונות שונים.
• Δ = 0: פתרון יחיד (שורש כפול).
• Δ < 0: אין פתרון ממשי.

בדוגמה. Δ = 25 − 24 = 1 > 0, אז שני פתרונות.

שלב 3: בחירת שיטה

אופציה א: נוסחת השורשים

תמיד עובדת. הציוד הבסיסי:

$$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$$

בדוגמה.

$$x_{1,2} = \frac{5 \pm 1}{4} \implies x_1 = \frac{3}{2}, \quad x_2 = 1$$

אופציה ב: פירוק לגורמים

מהיר יותר כשהמקדמים שלמים והשורשים רציונליים. מחפשים שני מספרים שמכפלתם ac וסכומם b.

דוגמה. x² − 5x + 6 = 0. מחפשים שני מספרים שמכפלתם 6 וסכומם −5. אלה −2 ו-−3.

$$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0$$

לכן x = 2 או x = 3.

אופציה ג: השלמה לריבוע

שיטה איטית יותר, אבל מעולה למציאת קודקוד הפרבולה. למשל, x² − 6x + 5 = 0:

$$(x - 3)^2 - 9 + 5 = 0 \implies (x - 3)^2 = 4 \implies x = 3 \pm 2$$

לכן x = 5 או x = 1.

שלב 4: בדיקה

הציבו כל פתרון במשוואה המקורית. אם שני הצדדים שווים, הפתרון נכון.

בדוגמה. x = 3/2: 2 · (3/2)² − 5 · 3/2 + 3 = 9/2 − 15/2 + 3 = 0. נכון.

שגיאות נפוצות

• שכחת ה-±. כל פעם שיש דלתא חיובית, יש שני פתרונות.
• סימן שגוי בדלתא. שמים סוגריים סביב מקדמים שליליים.
• שכחת −b (לא רק b) בנוסחה.

כלים שימושיים

• מחשבון משוואה ריבועית: מקבל a, b, c ומחזיר את הפתרונות.
• מחשבון דלתא: רק לבדיקה מהירה של מספר הפתרונות.

עמודים קשורים

• נוסחת השורשים
• משפט ויאטה
• השלמה לריבוע
• משוואה ריבועית עם פרמטר