משוואה ריבועית עם פרמטר: דיון לפי דלתא ושיטת פתרון

משוואה ריבועית עם פרמטר היא שאלה שדורשת דיון על מספר השורשים והסוג שלהם לפי ערך פרמטר. זה אחד הסוגים הקלאסיים של בגרות באלגברה.

תבנית השאלה

נתונה משוואה כללית:

$$a(k) x^2 + b(k) x + c(k) = 0$$

כאשר המקדמים תלויים בפרמטר k. השאלה: לאיזה ערכי k המשוואה...

• בעלת שני שורשים שונים?
• בעלת שורש כפול?
• בלי פתרונות ממשיים?
• בעלת שורשים חיוביים, שליליים, או בעלי סימן הפוך?

שיטת הפתרון

1. וודאו שמשוואה ריבועית: a(k) ≠ 0.
2. חשבו את הדלתא: Δ = b² − 4ac.
3. קבעו את התנאי לפי הדלתא:
   • שני שורשים שונים: Δ > 0
   • שורש כפול: Δ = 0
   • בלי שורשים ממשיים: Δ < 0
4. שורשים נוספים דרך משפט וייטה: סכום ומכפלה.

דוגמה 1: מספר שורשים

לאיזה ערכי k למשוואה x² + kx + 4 = 0 יש שני שורשים שונים?

פתרון. דלתא:

$$\Delta = k^2 - 16$$

שני שורשים שונים: Δ > 0:

$$k^2 > 16 \implies k > 4 \text{ או } k < -4$$

דוגמה 2: שורש כפול

לאיזה ערכי k למשוואה x² + (k − 2) x + 9 = 0 יש שורש כפול?

פתרון.

$$\Delta = (k - 2)^2 - 36 = 0 \implies (k - 2)^2 = 36$$ $$k - 2 = \pm 6 \implies k = 8 \text{ או } k = -4$$

דוגמה 3: שורשים חיוביים

לאיזה ערכי k למשוואה x² − kx + 6 = 0 יש שני שורשים חיוביים?

פתרון. משלושה תנאים בו-זמנית:

1. Δ > 0 (שני שורשים שונים, או נשאר שורש כפול חיובי):

$$k^2 - 24 > 0 \implies k > 2\sqrt{6} \text{ או } k < -2\sqrt{6}$$

1. סכום השורשים חיובי (משפט וייטה: x₁ + x₂ = k):

$$k > 0$$

1. מכפלת השורשים חיובית (x₁ · x₂ = 6 > 0): מתקיים אוטומטית.

חיתוך: k > 2√6.

דוגמה 4: וידוא שאלה ריבועית

לאיזה ערכי k המשוואה (k − 1) x² + 2 x + 3 = 0 היא ריבועית בעלת שורש כפול?

פתרון. ריבועית: k ≠ 1.

שורש כפול:

$$\Delta = 4 - 12(k - 1) = 0 \implies 12(k - 1) = 4 \implies k = \frac{4}{3}$$

(נכון, k ≠ 1.)

טעויות נפוצות

1. השמטת בדיקה a ≠ 0. בלעדיה המשוואה לינארית, לא ריבועית.
2. שכחה לבדוק שכל התנאים מתקיימים יחד בשורשים חיוביים. צריך גם דלתא וגם סכום וגם מכפלה.
3. חישוב שגוי של הדלתא. סימן −4ac במקרים מסוימים.

עמודים קשורים

• נוסחת השורשים
• משפט וייטה
• השלמה לריבוע
• משוואות