נוסחת השורשים: פתרון משוואה ריבועית עם הוכחה ודוגמאות

נוסחת השורשים היא הכלי הבסיסי לפתרון כל משוואה ריבועית. היא מבטיחה פתרון עבור כל המקרים שבהם משוואה ריבועית פתירה במספרים ממשיים.

ניסוח הנוסחה

עבור משוואה ריבועית בצורה הסטנדרטית ax² + bx + c = 0 עם a ≠ 0:

נוסחת השורשים:

$$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

הביטוי תחת השורש, Δ = b² − 4ac, נקרא הדלתא של המשוואה.

הדלתא. שלושה מקרים

הוכחה דרך השלמה לריבוע

נתחיל מ-ax² + bx + c = 0. נחלק ב-a:

$$x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$$

נשלים לריבוע על-ידי הוספת והפחתת (b/2a)²:

$$\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$$

הוצאת שורש משני האגפים נותנת:

$$x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \implies x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

דוגמה 1: שני שורשים

פתרו: x² − 5x + 6 = 0. פתרון. a = 1, b = −5, c = 6. הדלתא:

$$\Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$$ $$x_{1,2} = \frac{5 \pm 1}{2} = 3, \; 2$$

דוגמה 2: שורש כפול

פתרו: 4x² − 12x + 9 = 0. פתרון. Δ = 144 − 144 = 0. שורש כפול: x = 12/8 = 1.5.

דוגמה 3: דלתא שלילית

פתרו: x² + 2x + 5 = 0. פתרון. Δ = 4 − 20 = −16 < 0. אין פתרון ממשי.

טעויות נפוצות

1. שכחת לסדר את המשוואה לצורה הסטנדרטית. אם המשוואה היא 3x² + 4 = 7x, צריך להעביר הכל לאגף אחד: 3x² − 7x + 4 = 0.
2. חישוב שגוי של הדלתא. סימן b² חיובי תמיד, גם אם b שלילי.
3. שכחת חלוקה ב-2a. לא רק ב-2.
4. לא בודקים אם a = 0. אם כן, זו משוואה לינארית, לא ריבועית.

עמודים קשורים

• משפט וייטה. סכום ומכפלת השורשים
• השלמה לריבוע
• משוואות ריבועיות עם פרמטר
• נוסחאון בגרות