משפט וייטה: סכום ומכפלת שורשים של משוואה ריבועית

משפט וייטה מספק קשר ישיר בין מקדמי המשוואה הריבועית לבין סכום ומכפלת שורשיה. הוא מאפשר לפעמים למצוא שורשים בלי לפתור את המשוואה.

הנוסחאות

עבור משוואה ריבועית ax² + bx + c = 0 בעלת שורשים x₁ ו-x₂:

$$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$$ $$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$$

כאשר המקדם הראשי a שווה לאחד, הצורה פשוטה יותר: לסכום השורשים יש סימן הפוך למקדם של x, ומכפלתם שווה לקבוע.

הוכחה

לפי נוסחת השורשים:

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$$

חיבור:

$$x_1 + x_2 = \frac{-2b}{2a} = -\frac{b}{a}$$

מכפלה:

$$x_1 \cdot x_2 = \frac{(-b)^2 - \Delta}{4a^2} = \frac{b^2 - (b^2 - 4ac)}{4a^2} = \frac{4ac}{4a^2} = \frac{c}{a}$$

פירוק לגורמים בעזרת וייטה

אם x₁ ו-x₂ שורשים, אפשר לכתוב:

$$x^2 - (x_1 + x_2) x + x_1 \cdot x_2 = 0$$

או באופן שקול:

$$a(x - x_1)(x - x_2) = 0$$

דוגמה 1: ניחוש שורשים

פתרו x² − 7x + 12 = 0 בעזרת וייטה.

פתרון. סכום השורשים: 7. מכפלת השורשים: 12. שני מספרים שמסתכמים ל-7 ושמכפלתם 12: 3 ו-4. נבדוק: 3 + 4 = 7. 3·4 = 12. השורשים: 3 ו-4.

דוגמה 2: יצירת משוואה משורשים נתונים

מצאו את המשוואה הריבועית שאחד משורשיה 5 ושני 2.

פתרון.

$$x^2 - (5 + 2)x + 5 \cdot 2 = 0 \implies x^2 - 7x + 10 = 0$$

דוגמה 3: שורשים סימטריים בפרמטר

נתונה המשוואה x² − (k+1)x + k = 0. הוכיחו שלכל k, השורשים הם 1 ו-k.

פתרון. סכום השורשים: k + 1 = 1 + k (מתקיים). מכפלת השורשים: k = 1 · k (מתקיים). לכן השורשים אכן 1 ו-k.

טעויות נפוצות

1. שכחת הסימן בסכום. הסימן בנוסחה הוא מינוס: סכום השורשים = −b/a, לא b/a.
2. בלבול בין סכום ומכפלה. סכום זה b/a עם מינוס, מכפלה זה c/a בלי מינוס.
3. שימוש בוייטה כשאין שורשים ממשיים. כאשר הדיסקרימיננטה שלילית, הנוסחאות עדיין נכונות אבל השורשים מרוכבים.

עמודים קשורים

• נוסחת השורשים
• השלמה לריבוע
• משוואות אלגבריות