השלמה לריבוע: הסבר, מתי משתמשים, וטריק שלב-אחר-שלב

השלמה לריבוע היא הטריק שמאפשר לכתוב כל ביטוי ריבועי בצורה של ריבוע שלם פלוס קבוע. זה מגלה את קודקוד הפרבולה ומאפשר הוכחות שקשה להגיע אליהן בדרכים אחרות.

הצורה הקנונית

כל פרבולה y = ax² + bx + c ניתן לכתוב כ:

$$y = a(x - h)^2 + k$$

כאשר (h, k) היא קודקוד הפרבולה.

המתכון שלב-אחר-שלב

1. הוציאו את a מהאיברים שמכילים x: ax² + bx = a(x² + (b/a)x).
2. חצו את המקדם של x וריבעו: (b/(2a))².
3. הוסיפו והפחיתו את הריבוע בתוך הסוגריים.
4. כתבו כריבוע שלם: a((x + b/(2a))² − (b/(2a))²) + c.
5. סדרו לצורה הסופית a(x − h)² + k.

דוגמה 1: בסיסית

השלימו לריבוע: x² + 6x + 5. פתרון. חצי מ-6 = 3, בריבוע = 9.

$$x^2 + 6x + 5 = (x^2 + 6x + 9) - 9 + 5 = (x+3)^2 - 4$$

קודקוד הפרבולה: (−3, −4).

דוגמה 2: עם מקדם

השלימו לריבוע: 2x² − 8x + 3. פתרון. הוצאת 2:

$$2x^2 - 8x + 3 = 2(x^2 - 4x) + 3$$

חצי מ-4 = 2, בריבוע = 4.

$$= 2((x-2)^2 - 4) + 3 = 2(x-2)^2 - 8 + 3 = 2(x-2)^2 - 5$$

קודקוד: (2, −5).

דוגמה 3: פתרון משוואה דרך השלמה

פתרו: x² − 6x + 2 = 0. פתרון.

$$x^2 - 6x + 2 = 0 \implies (x-3)^2 - 9 + 2 = 0 \implies (x-3)^2 = 7$$ $$x - 3 = \pm \sqrt{7} \implies x = 3 \pm \sqrt{7}$$

מתי להשתמש?

טעויות נפוצות

1. שכחת להפחית את מה שהוספתם. הוספת (b/2)² חייבת להיות מתואמת בהפחתה.
2. אי-הוצאת המקדם a כשהוא לא 1.
3. חישוב שגוי של חצי מהמקדם. שימו לב שזה b/(2a), לא b/2.

עמודים קשורים

• נוסחת השורשים
• קודקוד הפרבולה
• משוואות ריבועיות עם פרמטר