חוק הגזירה של מנה: (f/g)' = (f'g − fg') / g²

חוק הגזירה של מנה משמש כשגוזרים פונקציה רציונלית: מונה חלקי מכנה, ושניהם פונקציות של x.

הנוסחה

עבור פונקציות f(x) ו-g(x) עם g(x) ≠ 0:

$$\left( \frac{f}{g} \right)' = \frac{f' \cdot g - f \cdot g'}{g^2}$$

באופן מילולי: נגזרת המונה כפול המכנה, פחות המונה כפול נגזרת המכנה, חלקי המכנה בריבוע.

הוכחה

ניתן להוכיח בעזרת חוק המכפלה. נכתוב h(x) = f(x) / g(x), אז f(x) = h(x) · g(x). נגזור:

$$f'(x) = h'(x) g(x) + h(x) g'(x)$$

נחלץ את h':

$$h'(x) = \frac{f'(x) - h(x) g'(x)}{g(x)} = \frac{f'(x) g(x) - f(x) g'(x)}{g(x)^2}$$

(החלפנו h(x) ב-f(x)/g(x) והכפלנו את המונה והמכנה ב-g(x).)

דוגמה 1: פונקציה רציונלית בסיסית

גזרו: h(x) = x / (x + 1).

פתרון. f(x) = x, g(x) = x + 1. אז f'(x) = 1, g'(x) = 1.

$$h'(x) = \frac{1 \cdot (x+1) - x \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{1}{(x+1)^2}$$

דוגמה 2: עם פונקציה טריגונומטרית

גזרו: h(x) = sin x / x.

פתרון. f(x) = sin x, g(x) = x.

$$h'(x) = \frac{\cos x \cdot x - \sin x \cdot 1}{x^2} = \frac{x \cos x - \sin x}{x^2}$$

דוגמה 3: פונקציה ריבועית במונה

גזרו: h(x) = (x² − 1) / (x² + 1).

פתרון. f(x) = x² − 1, g(x) = x² + 1.

$$h'(x) = \frac{2x (x^2 + 1) - (x^2 - 1) \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2}$$ $$= \frac{2x [(x^2 + 1) - (x^2 - 1)]}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2x \cdot 2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{4x}{(x^2 + 1)^2}$$

דוגמה 4: tan x

הוכיחו: (tan x)' = 1 / cos² x.

פתרון. tan x = sin x / cos x. חוק המנה:

$$(\tan x)' = \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x}$$

(הצעד האחרון משתמש בזהות פיתגורס.)

טעויות נפוצות

1. סדר הפוך במונה. הנוסחה דורשת f'g − fg', לא להפך. הסימן השלילי קריטי.
2. שכחת לרבע את המכנה. במכנה תמיד g², לא g.
3. שימוש בחוק המנה כש-f קבוע. למשל 1/g. אז ניתן להשתמש בנוסחה (1/g)' = −g'/g², או לקחת f = 1, f' = 0 בחוק המנה.

עמודים קשורים

• חוק המכפלה
• חוק השרשרת
• טבלת נגזרות
• נגזרות