טבלת נגזרות לבגרות: כל הפונקציות האופייניות

טבלת הנגזרות מרכזת את כל הנגזרות של הפונקציות שנפגשים בהן בבגרות. שליטה בה היא בסיס לחקירת פונקציה ולפתרון בעיות קיצון.

טבלה מלאה

נגזרות עם כלל השרשרת

עם פונקציה פנימית u(x):

ראו חוק השרשרת להסבר מלא.

חוקי גזירה לפעולות

דוגמה 1: שילוב חוקי גזירה ופונקציות אופייניות

גזרו: f(x) = x³ · ln x.

פתרון. חוק המכפלה: (x³)' · ln x + x³ · (ln x)':

$$f'(x) = 3x^2 \ln x + x^3 \cdot \frac{1}{x} = 3x^2 \ln x + x^2 = x^2 (3 \ln x + 1)$$

דוגמה 2: שילוב כל הכלים

גזרו: f(x) = √(x² + 1) / sin x.

פתרון. חוק המנה. גזירת המונה דורשת כלל השרשרת:

$$(\sqrt{x^2+1})' = \frac{1}{2\sqrt{x^2+1}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$$

חוק המנה:

$$f'(x) = \frac{\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \cdot \sin x - \sqrt{x^2+1} \cdot \cos x}{\sin^2 x}$$

טעויות נפוצות

1. שכחת הסימן של נגזרת cos. (cos x)' = −sin x (סימן מינוס).
2. שכחת ln a בנגזרת של aˣ. הנגזרת היא aˣ · ln a, לא רק aˣ.
3. שימוש בכלל לא נכון לחזקה. נגזרת של xⁿ היא n · xⁿ⁻¹. נגזרת של aˣ (חזקה משתנה במשתנה) היא aˣ · ln a.

עמודים קשורים

• חוק המכפלה
• חוק המנה
• חוק השרשרת
• טבלת אינטגרלים
• נגזרות