מה המשמעות הגאומטרית של נגזרת?

הנגזרת בנקודה היא שיפוע המשיק לעקום של הפונקציה באותה נקודה. ערך גדול: פונקציה עולה בקצב מהיר. ערך אפס: שיפוע אופקי, אפשר נקודת קיצון.

נגזרות לבגרות: חוקי גזירה, נגזרות פונקציות, ושימושים

נגזרות בחדו"א לבגרות. הגדרה גאומטרית, חוקי הגזירה (סכום, מכפלה, מנה, שרשרת), נגזרות של פונקציות אופייניות, ושימושים למציאת קיצון ומונוטוניות.

עודכן ב-26 במאי 2026

הנגזרת מודדת את קצב השינוי של פונקציה. גאומטרית, הנגזרת בנקודה היא שיפוע המשיק לגרף באותה נקודה. השימושים העיקריים בבגרות: מציאת קיצון, חקירת פונקציה, ובעיות אופטימיזציה.

חוקי הגזירה

סכום והפרש

(f \pm g)' = f' \pm g'

כפל בקבוע

(k \cdot f)' = k \cdot f'

מכפלה

(f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'

מנה

\left( \frac{f}{g} \right)' = \frac{f' g - f g'}{g^2}

שרשרת

(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)

נגזרות של פונקציות אופייניות

פונקציה	נגזרת
`c` (קבוע)	`0`
`xⁿ`	`n · xⁿ⁻¹`
`√x`	`1 / (2√x)`
`1/x`	`−1/x²`
`sin x`	`cos x`
`cos x`	`−sin x`
`tan x`	`1/cos²x`
`eˣ`	`eˣ`
`ln x`	`1/x`
`aˣ`	`aˣ · ln a`
`log_a x`	`1 / (x · ln a)`

דוגמה: שילוב חוקים

גזרו: f(x) = x² · sin x.

פתרון. כלל המכפלה:

f'(x) = 2x \cdot \sin x + x^2 \cdot \cos x

דוגמה: כלל השרשרת

גזרו: f(x) = √(x² + 1).

פתרון. הפונקציה החיצונית היא שורש, הפנימית היא x² + 1.

f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}

שימוש למציאת קיצון

נקודת קיצון: שם הנגזרת מתאפסת.

גוזרים את הפונקציה
פותרים f'(x) = 0
בודקים שזה באמת קיצון (לא פיתול אופקי)
מבחינים בין מקס למינ באמצעות נגזרת שנייה: f''(x) > 0 מינ, f''(x) < 0 מקס

שימוש למציאת מונוטוניות

על פי סימן הנגזרת:

f'(x) > 0 בכל קטע: f עולה בקטע
f'(x) < 0 בכל קטע: f יורדת בקטע
f'(x) = 0: קיצון מקומי או פיתול אופקי

טעויות נפוצות

שכחת חוק השרשרת. גזירת פונקציה מורכבת בלי להכפיל בגזירת הפנימית.
חישוב נגזרת של חזקה שגויה. (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹, לא n·xⁿ.
גזירת קבוע ביחס למשתנה אחר. בנגזרת רגילה ביחס ל-x, כל פרמטר אחר נחשב קבוע.
בלבול בין כלל המכפלה לכלל השרשרת. מכפלה: שתי פונקציות מוכפלות. שרשרת: פונקציה בתוך פונקציה.