בעיות קיצון בחדו"א: שיטת פתרון, תבנית, ודוגמאות מבגרות

בעיות קיצון הן השאלות הקלאסיות של חדו"א בבגרות. המטרה: למצוא ערך מקסימלי או מינימלי של גודל מסוים (שטח, נפח, רווח, מרחק).

תבנית הפתרון

1. הגדירו משתנה x. הגודל שאתם משנים.
2. כתבו את הגודל המבוקש כפונקציה f(x).
3. מצאו את התחום החוקי של x.
4. גזרו: f'(x).
5. פתרו f'(x) = 0. נקודות חשודות לקיצון.
6. בדקו שזה באמת קיצון (נגזרת שנייה או טבלה).
7. חשבו את הערך המבוקש בנקודת הקיצון.

תת-סוגים נפוצים

א. בעיית הקופסה

חותכים ריבועים בפינות יריעת קרטון ומקפלים. מקסמו נפח.

ב. בעיית הגדר

יש כמות גדר מסוימת. בנו מלבן בשטח מקסימלי.

ג. בעיית מחיר/הכנסה

יחס בין מחיר לכמות לקוחות. מקסמו הכנסה או רווח.

ד. בעיית מרחק/מסלול

מצאו את הנקודה הקרובה ביותר על עקומה לנקודה חיצונית.

דוגמה: בעיית קופסה

מיריעת קרטון בגודל 20×30 ס"מ חותכים בכל פינה ריבוע צלע x ומקפלים לקופסה פתוחה. מצאו את x שעבורו הנפח מקסימלי. פתרון.

הקופסה: אורך 30 − 2x, רוחב 20 − 2x, גובה x.

$$V(x) = x(30-2x)(20-2x) = 4x^3 - 100x^2 + 600x$$

תחום: 0 < x < 10.

$$V'(x) = 12x^2 - 200x + 600 = 0$$

חלוקה ב-4: 3x² − 50x + 150 = 0.

$$x = \frac{50 \pm \sqrt{2500 - 1800}}{6} = \frac{50 \pm \sqrt{700}}{6}$$

נקבל x ≈ 3.92 או x ≈ 12.74. רק x ≈ 3.92 בתחום. נבדוק נגזרת שנייה: V''(x) = 24x − 200. ב-x ≈ 3.92: V''(3.92) ≈ −106 < 0 ⇒ מקסימום. הנפח המקסימלי ≈ V(3.92) ≈ 1056 סמ"ק.

דוגמה: בעיית גדר

באורך 60 מ' של גדר, סוגרים שטח מלבני שמשיק לקיר אחד (אין צורך בגדר על צד הקיר). מצאו את השטח המקסימלי. פתרון.

נסמן רוחב = x, אורך = y. תנאי: x + x + y = 60 ⇒ y = 60 − 2x.

$$S(x) = x \cdot y = x(60 - 2x) = 60x - 2x^2$$ $$S'(x) = 60 - 4x = 0 \implies x = 15$$

S''(x) = −4 < 0 ⇒ מקסימום. השטח המקסימלי: S(15) = 15 · 30 = 450 מ"ר.

טעויות נפוצות

1. שכחת התחום החוקי. קיצון מחוץ לתחום אינו פתרון.
2. לא בודקים שזה באמת קיצון. f'(x) = 0 גם בנקודת פיתול.
3. תשובה במונחי x במקום במונחי השאלה. אם שאלו על הנפח, החזירו נפח, לא את x.
4. שכחת לבדוק קצוות התחום. לפעמים המקסימום בקצה ולא בנקודה פנימית.

עמודים קשורים

• חוקי גזירה
• חקירת פונקציות
• נגזרת שנייה ופיתול