אינטגרלים לבגרות: אינטגרל מסוים, חישוב שטחים ונפחים

האינטגרל הוא הפעולה ההפוכה לגזירה. אם הנגזרת מקטינה מורכבות (פונקציה כללית לפונקציה אחת), האינטגרל מגדיל אותה. בבגרות, האינטגרל משמש בעיקר לחישוב שטחים ונפחים.

משפט יסוד החדו"א

אם F'(x) = f(x), אז:

$$\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)$$

F נקראת פונקציה קדומה של f. האינטגרל הבלתי-מסוים מסומן בלי גבולות וכולל קבוע אינטגרציה C:

$$\int f(x) \, dx = F(x) + C$$

אינטגרלים של פונקציות אופייניות

חוקי אינטגרציה

סכום והפרש

$$\int (f \pm g) \, dx = \int f \, dx \pm \int g \, dx$$

כפל בקבוע

$$\int k \cdot f \, dx = k \int f \, dx$$

החלפת משתנה (5 יחידות)

אם u = g(x), אז:

$$\int f(g(x)) g'(x) \, dx = \int f(u) \, du$$

חישוב שטח

שטח בין עקומה לציר X

אם f(x) ≥ 0 בקטע [a, b]:

$$S = \int_a^b f(x) \, dx$$

אם הפונקציה משנה סימן, יש לחלק לתחומים ולחשב את הערך המוחלט בכל אחד בנפרד.

שטח בין שתי עקומות

אם f(x) ≥ g(x) בקטע [a, b]:

$$S = \int_a^b (f(x) - g(x)) \, dx$$

הפונקציה העליונה פחות התחתונה. אם הסדר משתנה, יש לחלק את התחום.

נפח גוף סיבוב

סיבוב סביב ציר X

אם f(x) ≥ 0 בקטע [a, b]:

$$V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 \, dx$$

סיבוב סביב ציר Y (5 יחידות)

עם פונקציה הפוכה x = g(y) בקטע [c, d]:

$$V = \pi \int_c^d [g(y)]^2 \, dy$$

דוגמה: שטח

מצאו את השטח בין f(x) = x² ו-ציר ה-x בתחום [0, 3].

פתרון.

$$S = \int_0^3 x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} \bigg|_0^3 = \frac{27}{3} - 0 = 9$$

דוגמה: נפח סיבוב

מצאו את הנפח שנוצר מסיבוב f(x) = x סביב ציר ה-x בתחום [0, 2].

פתרון.

$$V = \pi \int_0^2 x^2 \, dx = \pi \cdot \frac{x^3}{3} \bigg|_0^2 = \pi \cdot \frac{8}{3} = \frac{8\pi}{3}$$

טעויות נפוצות

1. שכחת קבוע האינטגרציה באינטגרל בלתי-מסוים. C חשוב למענה השלם.
2. חישוב שטח שלילי. אינטגרל מסוים יכול להיות שלילי, אבל השטח תמיד חיובי. יש להציב ערך מוחלט או להפוך גבולות.
3. שכחת π בנוסחת נפח סיבוב. בלי π זה לא נפח.
4. בלבול בין שטח בין עקומה לציר X לבין שטח בין שתי עקומות. בשני זה הפונקציה העליונה פחות התחתונה.

עמודים קשורים

• חדו"א
• נגזרות
• חקירת פונקציה