חוק השרשרת: גזירת פונקציה בתוך פונקציה

חוק השרשרת הוא אולי החוק הכי קריטי בחדו"א. הוא משמש לכל גזירה של פונקציה מורכבת, ומופיע בכמעט כל שאלה.

הנוסחה

עבור פונקציה מורכבת h(x) = f(g(x)):

$$h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

במילים: גוזרים את הפונקציה החיצונית במשתנה הפנימי, וכופלים בנגזרת הפונקציה הפנימית.

כיצד לזהות פונקציה מורכבת

מאתרים פונקציה פנימית (זו שהיא ארגומנט של פונקציה אחרת) ופונקציה חיצונית.

דוגמה 1: חזקה של פולינום

גזרו: h(x) = (x² + 3)⁵.

פתרון. פנימית: g(x) = x² + 3. חיצונית: f(u) = u⁵. אז f'(u) = 5u⁴ ו-g'(x) = 2x.

$$h'(x) = 5 (x^2 + 3)^4 \cdot 2x = 10x (x^2 + 3)^4$$

דוגמה 2: שורש

גזרו: h(x) = √(2x + 1).

פתרון.

$$h'(x) = \frac{1}{2\sqrt{2x + 1}} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2x + 1}}$$

דוגמה 3: טריגונומטרית

גזרו: h(x) = sin(3x² + 1).

פתרון.

$$h'(x) = \cos(3x^2 + 1) \cdot 6x = 6x \cos(3x^2 + 1)$$

דוגמה 4: שילוב

גזרו: h(x) = ln(sin x).

פתרון. פנימית: sin x. חיצונית: ln.

$$h'(x) = \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x = \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x$$

דוגמה 5: שלוש שכבות

גזרו: h(x) = e^{sin(x²)}.

פתרון. שלוש שכבות: x ⇒ x² ⇒ sin(x²) ⇒ e^{sin(x²)}.

$$h'(x) = e^{\sin(x^2)} \cdot \cos(x^2) \cdot 2x = 2x \cos(x^2) e^{\sin(x^2)}$$

(נגזרת חיצונית כפול נגזרת אמצעית כפול נגזרת פנימית.)

טעויות נפוצות

1. שכחת לכפול בנגזרת הפנימית. הטעות הכי נפוצה! נגזרת (x² + 1)⁵ היא לא 5(x² + 1)⁴, אלא 5(x² + 1)⁴ · 2x.
2. גזירה לא נכונה של הפונקציה החיצונית במשתנה פנימי. בנגזרת של sin(2x), החיצוני הוא קוסינוס, אבל הוא לא cos x, אלא cos(2x).
3. חוסר זיהוי שיש בכלל פונקציה מורכבת. אם נראה לכם שאין שום פנימית, בדקו אם יש סוגריים סביב משהו שאינו x בודד.

עמודים קשורים

• חוק המכפלה
• חוק המנה
• טבלת נגזרות
• נגזרות