חוק הגזירה של מכפלה: (fg)' = f'g + fg'

חוק הגזירה של מכפלה הוא אחד מארבעת הכללים הבסיסיים של גזירה. הוא נחוץ כשגוזרים פונקציה שהיא מכפלה של שתי פונקציות שונות.

הנוסחה

עבור פונקציות f(x) ו-g(x), הנגזרת של המכפלה היא:

$$(f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'$$

באופן מילולי: גוזרים את הראשון וכופלים בשני, ועוד הראשון כפול הנגזרת של השני.

הוכחה (בקצרה)

מהגדרת הנגזרת:

$$(fg)'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x)}{h}$$

מוסיפים ומפחיתים f(x+h) · g(x):

$$= \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)[g(x+h) - g(x)] + g(x)[f(x+h) - f(x)]}{h}$$ $$= f(x) \cdot g'(x) + g(x) \cdot f'(x)$$

דוגמה 1: בסיסית

גזרו: h(x) = x² · sin x.

פתרון. מסמנים f(x) = x² ו-g(x) = sin x. אז f'(x) = 2x ו-g'(x) = cos x.

$$h'(x) = 2x \cdot \sin x + x^2 \cdot \cos x$$

דוגמה 2: שלוש פונקציות

גזרו: h(x) = x · eˣ · sin x.

פתרון. מורחבים את חוק המכפלה. מסמנים u = x · eˣ ו-v = sin x:

$$u' = eˣ + x \cdot eˣ = (1+x) eˣ$$ $$h'(x) = (1+x) eˣ \sin x + x eˣ \cos x = eˣ [(1+x) \sin x + x \cos x]$$

דוגמה 3: עם פונקציה מורכבת

גזרו: h(x) = (3x + 2)(x² − 5).

פתרון. ניתן לפתוח סוגריים, אבל יותר מהיר עם חוק המכפלה:

$$h'(x) = 3 \cdot (x^2 - 5) + (3x + 2) \cdot 2x = 3x^2 - 15 + 6x^2 + 4x = 9x^2 + 4x - 15$$

דוגמה 4: שילוב עם כלל השרשרת

גזרו: h(x) = (2x + 1)² · cos x.

פתרון. חוק המכפלה עם כלל השרשרת:

• f(x) = (2x+1)² ⇒ f'(x) = 2(2x+1) · 2 = 4(2x+1)
• g(x) = cos x ⇒ g'(x) = −sin x

$$h'(x) = 4(2x+1) \cos x - (2x+1)^2 \sin x = (2x+1)[4 \cos x - (2x+1) \sin x]$$

טעויות נפוצות

1. חישוב כ-(f·g)' = f'·g'. שגוי! הנוסחה דורשת שני איברים.
2. שכחת אחד מהאיברים. הנוסחה מבטיחה תוצאה שלמה, צריכה את שני האיברים.
3. בלבול בין חוק המכפלה לחוק השרשרת. מכפלה: שתי פונקציות מוכפלות. שרשרת: פונקציה בתוך פונקציה (f(g(x))).

עמודים קשורים

• חוק המנה
• חוק השרשרת
• טבלת נגזרות
• נגזרות