זהות פיתגורס הטריגונומטרית: sin²x + cos²x = 1

זהות פיתגורס הטריגונומטרית היא הזהות הבסיסית ביותר של הטריגונומטריה. כמעט כל זהות אחרת נובעת ממנה.

ניסוח

זהות פיתגורס:

$$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$$

לכל זווית x.

הוכחה מהמעגל היחידה

על המעגל היחידה (רדיוס 1, מרכז בראשית), נקודה בזווית x מציר ה-x היא (cos x, sin x). המרחק מהראשית = 1, ולכן לפי משפט פיתגורס:

$$\cos^2 x + \sin^2 x = 1^2 = 1$$

וריאציות שימושיות

חילוק ב-cos²x נותן זהות נוספת:

$$1 + \tan^2 x = \sec^2 x \quad \text{(כאשר } \cos x \neq 0\text{)}$$

וחילוק ב-sin²x:

$$1 + \cot^2 x = \csc^2 x \quad \text{(כאשר } \sin x \neq 0\text{)}$$

שלוש שימושים עיקריים

1. הפיכת sin² ל-cos² (ולהיפך)

$$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x, \quad \cos^2 x = 1 - \sin^2 x$$

שימושי במשוואות טריגונומטריות שמערבות גם sin² וגם cos². ממירים הכל למשתנה אחד.

2. פישוט ביטויים

דוגמה: פשטו את הביטוי (sin x + cos x)² + (sin x − cos x)². פתרון. פתיחה: sin²x + 2 sin x cos x + cos²x + sin²x − 2 sin x cos x + cos²x = 2(sin²x + cos²x) = 2.

3. הוכחת זהויות מורכבות יותר

זהות פיתגורס היא הצעד הראשון בהוכחה כמעט של כל זהות טריגונומטרית מורכבת.

דוגמה: משוואה טריגונומטרית

פתרו: 2 sin²x − cos x = 1 בתחום [0°, 360°]. פתרון. המירו sin² ב-1 − cos²x:

$$2(1 - \cos^2 x) - \cos x = 1 \implies 2\cos^2 x + \cos x - 1 = 0$$

הצבה t = cos x נותנת 2t² + t − 1 = 0. נוסחת השורשים: t = 0.5 או t = −1.

• cos x = 0.5 → x = 60° או x = 300°
• cos x = −1 → x = 180°

פתרונות: 60°, 180°, 300°.

טעויות נפוצות

1. כתיבת sin²x כ-(sin x)² בצורה לא נכונה. הסימון sin²x משמעו (sin x)², לא sin(x²).
2. שכחת המקרים שבהם cos x = 0 בזהויות הנגזרות. 1 + tan²x = sec²x אינה מוגדרת עבור x = 90° או x = 270°.
3. חוסר עקביות עם הסימן בשורש: sin x = ±√(1 − cos²x). הסימן תלוי ברביע.

עמודים קשורים

• זהויות חיבור
• זהויות זווית כפולה
• משוואות טריגונומטריות
• טריגונומטריה. מבוא