זהויות זווית כפולה: sin 2α, cos 2α, ו-tan 2α

זהויות זווית כפולה נובעות מזהויות החיבור על ידי הצבת β = α. הן מאפשרות להמיר פונקציה של 2α לפונקציה של α, מה שמפתח אינטגרציה ופתרון משוואות.

הזהויות

סינוס של זווית כפולה

$$\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$$

קוסינוס של זווית כפולה (שלוש צורות שקולות)

$$\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$$ $$\cos 2\alpha = 1 - 2 \sin^2 \alpha$$ $$\cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha - 1$$

המעבר בין הצורות הוא בעזרת זהות פיתגורס.

טנגנס של זווית כפולה

$$\tan 2\alpha = \frac{2 \tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha}$$

מקור

מהשלמת β = α ב-זהויות חיבור:

$$\sin(\alpha + \alpha) = \sin \alpha \cos \alpha + \cos \alpha \sin \alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$$

ובאופן דומה לקוסינוס.

הורדת חזקה (זהויות חצי-זווית בכיוון הפוך)

מתוך הצורות של cos 2α אפשר לבטא חזקות שניות:

$$\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}$$ $$\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}$$

שימושי באינטגרציה של פונקציות טריגונומטריות.

דוגמה: פתרון משוואה

פתרו: sin 2x = sin x בתחום [0°, 360°].

פתרון. מציבים את זהות זווית כפולה:

$$2 \sin x \cos x = \sin x \implies \sin x (2 \cos x - 1) = 0$$

מקבלים sin x = 0 או cos x = 1/2.

• sin x = 0: x = 0°, 180°, 360°
• cos x = 0.5: x = 60°, 300°

פתרונות: 0°, 60°, 180°, 300°, 360°.

דוגמה: פישוט ביטוי

פשטו: (sin x + cos x)².

פתרון. פתיחה:

$$(\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 x = 1 + \sin 2x$$

(לפי זהות פיתגורס ו-זהות זווית כפולה.)

טעויות נפוצות

1. כתיבת sin 2α = 2 sin α. שגוי! הנוסחה היא 2 sin α cos α.
2. שכחת אחת מ-3 הצורות של cos 2α. דעו את שלושתן ובחרו לפי הצורך.
3. חלוקת המשוואה ב-sin x מבלי לבדוק אם sin x שווה לאפס. עלולה לאבד פתרונות.

עמודים קשורים

• זהויות חיבור וחיסור
• זהות פיתגורס
• זהויות חצי-זווית
• זהויות טריגונומטריות