ראשי ‹ נוסחאות ‹ זהויות חיבור וחיסור: sin, cos, tan של סכום והפרש זוויות זהויות חיבור וחיסור: sin, cos, tan של סכום והפרש זוויות זהויות חיבור וחיסור של פונקציות טריגונומטריות: sin(α±β), cos(α±β), tan(α±β). ניסוח מלא, מקור, ודוגמאות לחישוב ערכים מדויקים.
עודכן ב-26 במאי 2026
זהויות חיבור וחיסור מאפשרות לפרק פונקציה טריגונומטרית של סכום או הפרש זוויות לפונקציות של הזוויות הבודדות. הן הכלי הראשי במשוואות טריגונומטריות מורכבות וגם שימושיות לחישוב ערכים מדויקים.
הזהויות
סינוס
sin ( α + β ) = sin α cos β + cos α sin β \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta sin ( α + β ) = sin α cos β + cos α sin β sin ( α − β ) = sin α cos β − cos α sin β \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta sin ( α − β ) = sin α cos β − cos α sin β קוסינוס
cos ( α + β ) = cos α cos β − sin α sin β \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta cos ( α + β ) = cos α cos β − sin α sin β cos ( α − β ) = cos α cos β + sin α sin β \cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta cos ( α − β ) = cos α cos β + sin α sin β שימו לב: בקוסינוס הסימן בנוסחה הפוך לסימן שבסוגריים.
טנגנס
tan ( α + β ) = tan α + tan β 1 − tan α tan β \tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} tan ( α + β ) = 1 − tan α tan β tan α + tan β tan ( α − β ) = tan α − tan β 1 + tan α tan β \tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta} tan ( α − β ) = 1 + tan α tan β tan α − tan β מקור הזהויות
הזהויות נובעות מהוכחה גאומטרית על המעגל היחידה: מסתכלים על הנקודות בזוויות α ו-β על המעגל ומחשבים את המרחק ביניהן בשתי דרכים. ההשוואה נותנת את זהות הקוסינוס. שאר הזהויות נובעות ממנה ומ-זהות פיתגורס .
דוגמה: חישוב ערך מדויק של sin 75°
נכתוב 75° כ-45° + 30° ונשתמש בזהות חיבור:
sin 75 ° = sin ( 45 ° + 30 ° ) = sin 45 ° cos 30 ° + cos 45 ° sin 30 ° \sin 75° = \sin(45° + 30°) = \sin 45° \cos 30° + \cos 45° \sin 30° sin 75° = sin ( 45° + 30° ) = sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30° = 2 2 ⋅ 3 2 + 2 2 ⋅ 1 2 = 6 + 2 4 = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = 2 2 ⋅ 2 3 + 2 2 ⋅ 2 1 = 4 6 + 2 דוגמה: חישוב ערך מדויק של cos 15°
נכתוב 15° כ-45° − 30°:
cos 15 ° = cos ( 45 ° − 30 ° ) = cos 45 ° cos 30 ° + sin 45 ° sin 30 ° \cos 15° = \cos(45° - 30°) = \cos 45° \cos 30° + \sin 45° \sin 30° cos 15° = cos ( 45° − 30° ) = cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30° = 2 2 ⋅ 3 2 + 2 2 ⋅ 1 2 = 6 + 2 4 = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = 2 2 ⋅ 2 3 + 2 2 ⋅ 2 1 = 4 6 + 2 (במקרה זה sin 75° = cos 15°, מה שמאשר את זהות המשלימות.)
טעויות נפוצות
בלבול בין סימני הסכום בנוסחה לבין סימני הזוויות . בקוסינוס הסימנים הפוכים, בסינוס שווים.שכחת המכפלה בכפל ערכים . הזהויות הן sin α · cos β ולא sin α + cos β.כתיבת sin(α + β) = sin α + sin β . שגוי! זוהי טעות נפוצה ביותר. סינוס הוא לא לינארי.
עמודים קשורים
