ראשי ‹ נוסחאות ‹ זהויות חצי-זווית והורדת חזקה בטריגונומטריה זהויות חצי-זווית והורדת חזקה בטריגונומטריה זהויות חצי-זווית והורדת חזקה בטריגונומטריה. ביטויים של sin²α, cos²α, sin(α/2), cos(α/2) ושימושים באינטגרציה ובמשוואות.
עודכן ב-26 במאי 2026
זהויות חצי-זווית והורדת חזקה הן שני צדדים של אותו רעיון: ביטוי החזקה השנייה של פונקציה טריגונומטרית בעזרת פונקציה של זווית כפולה. שימושיות במיוחד באינטגרציה.
הורדת חזקה
הצורה הנפוצה בבגרות:
sin 2 α = 1 − cos 2 α 2 \sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2} sin 2 α = 2 1 − cos 2 α cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 \cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2} cos 2 α = 2 1 + cos 2 α sin α cos α = sin 2 α 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{\sin 2\alpha}{2} sin α cos α = 2 sin 2 α חצי-זווית
צורה מקבילה, כשמחליפים α ב-α/2 בנוסחאות הורדת החזקה:
sin 2 α 2 = 1 − cos α 2 \sin^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos \alpha}{2} sin 2 2 α = 2 1 − cos α cos 2 α 2 = 1 + cos α 2 \cos^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos \alpha}{2} cos 2 2 α = 2 1 + cos α tan α 2 = 1 − cos α sin α = sin α 1 + cos α \tan \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} tan 2 α = sin α 1 − cos α = 1 + cos α sin α מקור
הזהויות נובעות ישירות מ-זהויות זווית כפולה . למשל:
cos 2 α = 1 − 2 sin 2 α ⟹ sin 2 α = 1 − cos 2 α 2 \cos 2\alpha = 1 - 2 \sin^2 \alpha \implies \sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2} cos 2 α = 1 − 2 sin 2 α ⟹ sin 2 α = 2 1 − cos 2 α דוגמה: שימוש באינטגרציה
חשב: ∫ sin²x dx.
פתרון. מציבים את זהות הורדת החזקה:
∫ sin 2 x d x = ∫ 1 − cos 2 x 2 d x = x 2 − sin 2 x 4 + C \int \sin^2 x \, dx = \int \frac{1 - \cos 2x}{2} \, dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C ∫ sin 2 x d x = ∫ 2 1 − cos 2 x d x = 2 x − 4 sin 2 x + C דוגמה: חישוב ערך
חשבו את sin(22.5°) במדויק.
פתרון. משתמשים בזהות חצי-זווית עם α = 45°:
sin 2 22.5 ° = 1 − cos 45 ° 2 = 1 − 2 / 2 2 = 2 − 2 4 \sin^2 22.5° = \frac{1 - \cos 45°}{2} = \frac{1 - \sqrt{2}/2}{2} = \frac{2 - \sqrt{2}}{4} sin 2 22.5° = 2 1 − cos 45° = 2 1 − 2 /2 = 4 2 − 2 sin 22.5 ° = 2 − 2 2 \sin 22.5° = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} sin 22.5° = 2 2 − 2 (הסימן חיובי כי 22.5° ברביע ראשון.)
טעויות נפוצות
שכחת הסימן בזהות חצי-זווית. הסימן של sin(α/2) או cos(α/2) תלוי ברביע של α/2.בלבול בין 'הורדת חזקה' ל'חצי-זווית' . הם שני צידי אותו מטבע, אבל הזווית בהם שונה.שימוש בנוסחה בלי לבדוק שהפונקציה מוגדרת . למשל tan(α/2) דורש sin α שונה מאפס בנוסחה אחת.
עמודים קשורים
