סינוס לעומת קוסינוס לעומת טנגנס: השוואה ושימושים
שלוש פונקציות טריגונומטריות בסיסיות. הגדרות במשולש ישר זווית, מעגל היחידה, תכונות, גרפים, ומתי להשתמש בכל אחת.
עודכן ב-27 במאי 2026
הסינוס, הקוסינוס, והטנגנס הם שלוש הפונקציות הטריגונומטריות הבסיסיות. הן קשורות אבל מתפקדות שונה.
הגדרות במשולש ישר זווית
בהינתן זווית θ במשולש ישר זווית:
- סינוס:
sin(θ) = הצלע מול הזווית / היתר. - קוסינוס:
cos(θ) = הצלע הסמוכה / היתר. - טנגנס:
tan(θ) = הצלע מול / הצלע הסמוכה.
הזכרון העברי: ס.ה.ק (סינוס = הצלע מול חלקי היתר), ק.ס.ה (קוסינוס = הצלע הסמוכה חלקי היתר), ט.מ.ס (טנגנס = מול חלקי סמוכה).
הגדרות במעגל היחידה
עבור זווית θ ממוקמת בראשית הצירים:
sin(θ): שיעור ה-y של הנקודה על מעגל היחידה.cos(θ): שיעור ה-x של הנקודה על מעגל היחידה.tan(θ): השיפוע של הקו מהראשית לנקודה.
ההגדרה הזו מאפשרת להרחיב את הפונקציות לכל זווית, לא רק חדה.
טבלת השוואה
| תכונה | sin | cos | tan |
|---|---|---|---|
| תחום הגדרה | כל הממשיים | כל הממשיים | x ≠ π/2 + kπ |
| טווח | [−1, 1] | [−1, 1] | כל הממשיים |
| מחזור | 2π | 2π | π |
| ערך ב-0 | 0 | 1 | 0 |
| ערך ב-π/2 | 1 | 0 | לא מוגדר |
| נגזרת | cos x | −sin x | 1/cos² x |
| זוגיות | אי-זוגית | זוגית | אי-זוגית |
ערכים מיוחדים
| זווית | sin | cos | tan |
|---|---|---|---|
0 | 0 | 1 | 0 |
π/6 (30°) | 1/2 | √3/2 | √3/3 |
π/4 (45°) | √2/2 | √2/2 | 1 |
π/3 (60°) | √3/2 | 1/2 | √3 |
π/2 (90°) | 1 | 0 | לא מוגדר |
π (180°) | 0 | −1 | 0 |
מתי להשתמש בכל פונקציה
במשולש ישר זווית:
- ידוע היתר ורוצים את הצלע מול: סינוס.
- ידוע היתר ורוצים את הצלע הסמוכה: קוסינוס.
- ידועות שתי הצלעות (לא היתר): טנגנס.
בבעיות פיזיקליות (גלים, תנודות):
- סינוס: גל שמתחיל מ-0 ועולה.
- קוסינוס: גל שמתחיל מ-1 ויורד.
במשוואות בגרות מורכבות: לעיתים שווה לחשב את שלושתם ולבחור את הקל ביותר.
קשרים
- זהות פיתגוראית:
sin²(θ) + cos²(θ) = 1. - טנגנס דרך סינוס וקוסינוס:
tan(θ) = sin(θ)/cos(θ). - משפט הסינוסים:
a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R. - משפט הקוסינוסים:
c² = a² + b² − 2ab cos C.
גרפים
y = sin x: מתחיל מ-0, עולה ל-1 ב-π/2, חוזר ל-0 ב-π, ירידה ל-−1ב-3π/2, וחוזר ל-0 ב-2π.y = cos x: מתחיל מ-1, ירידה ל-0 ב-π/2, ל-−1ב-π, וחזרה ל-1 ב-2π. בעצם, הסינוס מוזז ב-π/2.y = tan x: עולה מאסימפטוטה אנכית ב-−π/2דרך 0 לאסימפטוטה ב-π/2. מחזורי ב-π.