כלל הסינוסים: הסבר, הוכחה, דוגמאות וטעויות נפוצות

כלל הסינוסים הוא אחד המשפטים החשובים ביותר בטריגונומטריה של המשולש הכללי. הוא קושר בין צלעות המשולש לזוויות שמולן: ובין שניהם לרדיוס המעגל החוסם.

ניסוח הכלל

במשולש ABC עם צלעות a, b, c מול הזוויות A, B, C בהתאמה, ורדיוס המעגל החוסם R:

כלל הסינוסים:

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$$

המשמעות: היחס בין כל צלע לסינוס של הזווית מולה הוא קבוע במשולש, ושווה לקוטר המעגל החוסם.

מתי להשתמש

הוכחה

בנו את הגובה h מקודקוד C לצלע AB. במשולשים הישרים שנוצרים:

$$\sin A = \frac{h}{b}, \quad \sin B = \frac{h}{a}$$

מכאן: h = b·sin A = a·sin B, ולכן a/sin A = b/sin B. ביצוע הוכחה דומה עם גובה אחר נותן את החלק השלישי. החלק של 2R מוכח דרך משפט הזווית ההיקפית והקוטר.

דוגמה 1: מציאת צלע

נתון משולש ABC עם A = 75°, B = 45°, ו-a = 12. מצאו את b. פתרון. לפי כלל הסינוסים:

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \implies b = \frac{a \cdot \sin B}{\sin A} = \frac{12 \cdot \sin 45°}{\sin 75°} \approx 8.79$$

דוגמה 2: מציאת רדיוס מעגל חוסם

במשולש ABC, a = 10 ו-A = 30°. מצאו את רדיוס המעגל החוסם R. פתרון.

$$2R = \frac{a}{\sin A} = \frac{10}{\sin 30°} = \frac{10}{0.5} = 20 \implies R = 10$$

טעויות נפוצות

1. שימוש בכלל כשידועות שלוש צלעות. אין אז כל זווית להציב. צריך קודם כלל הקוסינוסים למציאת זווית.
2. שכחת המקרה המעורפל (SSA). כשנתונות שתי צלעות וזווית מול אחת מהן, ייתכנו שני משולשים שונים. בדקו תמיד arcsin בשתי הזוויות.
3. שימוש ברדיאנים במקום מעלות במחשבון. ודאו שהמחשבון במצב Deg (מעלות) בבגרות.
4. בלבול בין הזווית והצלע. הזווית A תמיד מול הצלע a, לא לידה.

עמודים קשורים

• כלל הקוסינוסים
• שטח משולש לפי ½ab·sin C
• בעיות במשולש כללי
• נוסחאון 5 יחידות