שטח משולש לפי שתי צלעות וזווית: S = ½ab·sin C

נוסחת השטח לפי שתי צלעות וזווית היא הדרך הפשוטה ביותר לחישוב שטח כשיש משולש כללי ושלא נוח להוריד גובה. השימוש בה נפוץ בכל בעיה טריגונומטרית עם משולש כללי ב-4 ו-5 יחידות.

הנוסחה

במשולש עם צלעות a ו-b והזווית C ביניהן:

$$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C$$

באופן סימטרי גם:

$$S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot \sin A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot c \cdot \sin B$$

הוכחה

מבסיס שיש לנו צלע b כבסיס וצלע a יוצאת ממנה בזווית C. גובה המשולש לבסיס b הוא:

$$h = a \sin C$$

לכן השטח:

$$S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h = \frac{1}{2} \cdot b \cdot a \sin C = \frac{1}{2} a b \sin C$$

דוגמה 1: חישוב ישיר

במשולש ABC, a = 6, b = 8, וזווית C = 30°. מצאו את השטח.

פתרון.

$$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \sin 30° = 24 \cdot 0.5 = 12$$

דוגמה 2: שילוב עם כלל הסינוסים

במשולש a = 10, b = 14, וזווית A = 30°. מצאו את השטח.

פתרון. הזווית A היא מול a, לא בין הצלעות. תחילה מוצאים את זווית B בעזרת כלל הסינוסים:

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \implies \sin B = \frac{b \sin A}{a} = \frac{14 \cdot 0.5}{10} = 0.7$$ $$B \approx 44.43°$$

לכן זווית C = 180° − 30° − 44.43° ≈ 105.57°. השטח:

$$S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 14 \cdot \sin 105.57° \approx 70 \cdot 0.963 \approx 67.4$$

טעויות נפוצות

1. שימוש בזווית שאינה בין הצלעות. הנוסחה דורשת בדיוק את הזווית בין a ו-b.
2. שכחת החצי. הנוסחה היא ½·a·b·sin C, לא a·b·sin C.
3. מצב מחשבון רדיאנים במקום מעלות. תמיד Deg בבגרות.

עמודים קשורים

• נוסחת הירון
• כלל הסינוסים
• כלל הקוסינוסים
• טריגונומטריה במשולש כללי