נוסחת הירון: שטח משולש לפי שלוש צלעות

נוסחת הירון מאפשרת לחשב את שטח המשולש מתוך שלוש הצלעות שלו בלבד, בלי להזדקק לזווית או לגובה. שימושית במצבים שבהם זוויות לא נתונות.

הנוסחה

עם צלעות a, b, c ועם s שהוא חצי-היקף המשולש:

$$s = \frac{a + b + c}{2}$$ $$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$

מקור

הנוסחה ניתנת להוכחה מתוך כלל הקוסינוסים ו-נוסחת השטח לפי SAS:

$$S = \frac{1}{2} a b \sin C$$

מהציבה של sin² C = 1 − cos² C ושימוש בכלל הקוסינוסים לקבל cos C, מקבלים אחרי פישוט אלגברי את נוסחת הירון.

דוגמה 1: משולש 3-4-5

מצאו את שטח המשולש עם צלעות 3, 4, 5.

פתרון. חצי-היקף:

$$s = \frac{3 + 4 + 5}{2} = 6$$ $$S = \sqrt{6 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \sqrt{36} = 6$$

נכון: זהו משולש ישר זווית, ושטחו ½·3·4 = 6.

דוגמה 2: משולש כללי

מצאו את שטח המשולש עם צלעות 7, 8, 9.

פתרון.

$$s = \frac{7 + 8 + 9}{2} = 12$$ $$S = \sqrt{12 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3} = \sqrt{720} \approx 26.83$$

תנאי קיום

המשולש קיים אם ורק אם כל זוג צלעות מקיים אי-שוויון משולש:

$$a + b > c, \quad a + c > b, \quad b + c > a$$

אם התנאי לא מתקיים, הירון נותן שורש של מספר שלילי או אפס, ויש להבין שזה לא משולש.

טעויות נפוצות

1. שכחת לחלק את ההיקף בשתיים לקבלת s. s הוא חצי-היקף.
2. חישוב שורש של מספר שלילי במקרה שצלע אחת ארוכה מסכום שתי האחרות. זה אומר שאין משולש.
3. שימוש בנוסחה כשידועה זווית. במקרה זה ½·a·b·sin C הרבה יותר מהיר.

עמודים קשורים

• שטח משולש לפי SAS
• כלל הקוסינוסים
• טריגונומטריה במשולש כללי