טריגונומטריה במשולש כללי: סינוסים, קוסינוסים, ושטחים

טריגונומטריה במשולש כללי מאפשרת לפתור משולשים שאינם ישרי-זווית. שני המשפטים המרכזיים, כלל הסינוסים וכלל הקוסינוסים, מכסים יחד את כל המקרים האפשריים.

כלל הסינוסים

במשולש ABC עם צלעות a, b, c מול הזוויות A, B, C, ורדיוס מעגל חוסם R:

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$$

ראו כלל הסינוסים להסבר מלא והוכחה.

כלל הקוסינוסים

הכללה של משפט פיתגורס למשולש כללי:

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2 a b \cos C$$

כאשר C היא הזווית מול הצלע c. שתי וריאציות זהות לזוויות אחרות:

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2 b c \cos A$$ $$b^2 = a^2 + c^2 - 2 a c \cos B$$

שטח משולש

לפי שתי צלעות וזווית ביניהן:

$$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C$$

נוסחת הירון (כשידועות שלוש צלעות), עם s = (a+b+c)/2:

$$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$

בחירת הכלל הנכון

דוגמה: כלל הקוסינוסים

נתון משולש עם a = 7, b = 5, וזווית C = 60°. מצאו את c.

פתרון.

$$c^2 = 49 + 25 - 2 \cdot 7 \cdot 5 \cdot \cos 60° = 74 - 35 = 39$$ $$c = \sqrt{39} \approx 6.24$$

דוגמה: שטח משולש

נתון משולש עם a = 8, b = 10, וזווית C = 30°. מצאו את השטח.

פתרון.

$$S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 10 \cdot \sin 30° = 40 \cdot 0.5 = 20$$

המקרה המעורפל ב-SSA

כשנתונים שתי צלעות וזווית שמול אחת מהן, ייתכן שיש שני משולשים אפשריים. אחרי שמוצאים זווית בעזרת כלל הסינוסים, יש לבדוק את שתי האפשרויות:

• הזווית A שמצאתם
• הזווית 180° − A (משלימה)

שתיהן בעלות אותו sin. צריך לבדוק אם כל אחת מסתדרת לסכום זוויות פנימי של 180°.

טעויות נפוצות

1. שכחת המקרה המעורפל ב-SSA. תמיד לבדוק את שתי האפשרויות לזווית.
2. שימוש בכלל הסינוסים כשידועות שלוש צלעות. אין זווית להציב, צריך קודם קוסינוסים.
3. חישוב שטח עם זווית שאינה בין שתי הצלעות. בנוסחה ½ab·sin C, הזווית C היא בין הצלעות a ו-b.
4. שכחה שטריגונומטריה במשולש כללי דורשת 4 או 5 יחידות. ב-3 יחידות יש רק משולש ישר-זווית.

עמודים קשורים

• כלל הסינוסים
• טריגונומטריה
• משולש ישר זווית
• זהויות טריגונומטריות