טריגונומטריה במשולש ישר זווית: sin, cos, tan, ופיתגורס

טריגונומטריה במשולש ישר-זווית היא הבסיס של כל הטריגונומטריה. כאן מגדירים את היחסים sin, cos, tan דרך צלעות, ולומדים לפתור משולשים ישרי זווית מתוך שני נתונים בלבד.

הגדרות בסיסיות

במשולש ישר-זווית בעל יתר c וניצבים a (מול הזווית A) ו-b (סמוך לזווית A):

$$\sin A = \frac{\text{ניצב מול}}{\text{יתר}} = \frac{a}{c}$$ $$\cos A = \frac{\text{ניצב סמוך}}{\text{יתר}} = \frac{b}{c}$$ $$\tan A = \frac{\text{ניצב מול}}{\text{ניצב סמוך}} = \frac{a}{b}$$

משפט פיתגורס

בכל משולש ישר-זווית:

$$a^2 + b^2 = c^2$$

כאשר c הוא היתר (מול הזווית הישרה) ו-a, b הם הניצבים.

ערכי זוויות מיוחדות

פתרון משולש ישר זווית

נתונים שני נתונים (חוץ מהזווית הישרה), מוצאים את היתר.

דוגמה: שני ניצבים

נתון a = 3, b = 4. מצאו את היתר ואת הזוויות.

פתרון.

$$c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$$ $$\tan A = \frac{3}{4} \implies A = \arctan(0.75) \approx 36.87°$$

זווית B = 90° − A ≈ 53.13°.

דוגמה: ניצב וזווית

נתון a = 10 וזווית A = 30°. מצאו את היתר.

פתרון.

$$\sin A = \frac{a}{c} \implies c = \frac{a}{\sin A} = \frac{10}{\sin 30°} = \frac{10}{0.5} = 20$$

בעיות גובה ומרחק

מקרה קלאסי בבגרות. אדם רואה ראש מגדל מנקודה במרחק נתון בזווית הגבהה α. גובה המגדל:

$$h = d \cdot \tan \alpha$$

כאשר d הוא המרחק האופקי ו-α זווית ההגבהה מעיני הצופה.

טעויות נפוצות

1. בלבול בין ניצב מול לניצב סמוך. תלוי מהי הזווית שאליה מתייחסים.
2. מצב מחשבון שגוי. בבגרות תמיד מעלות (Deg), לא רדיאנים.
3. שכחת זווית ההגבהה לעומת זווית השפלה. הגבהה: מסתכלים למעלה. שפלה: מסתכלים למטה.
4. שימוש בפיתגורס למשולש שאינו ישר-זווית. הנוסחה תקפה רק במשולש ישר-זווית.

עמודים קשורים

• טריגונומטריה
• משולש כללי (סינוסים וקוסינוסים)
• זהויות טריגונומטריות
• זהות פיתגורס