כלל הקוסינוסים: הסבר, הוכחה, ודוגמאות מבגרות

כלל הקוסינוסים הוא הכללה של משפט פיתגורס למשולש כללי, שאינו בהכרח ישר זווית. הוא מאפשר לחשב צלע או זווית כשנתונים שלוש צלעות, או שתי צלעות והזווית ביניהן.

ניסוח הכלל

במשולש ABC עם צלעות a, b, c מול הזוויות A, B, C:

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2 a b \cos C$$

ושתי וריאציות לזוויות האחרות:

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2 b c \cos A$$ $$b^2 = a^2 + c^2 - 2 a c \cos B$$

מתי להשתמש

הוכחה

מציבים את A בראשית הצירים ואת B על ציר ה-x. אז B = (c, 0) ו-C = (b·cos A, b·sin A). המרחק מ-B ל-C הוא הצלע a:

$$a^2 = (c - b \cos A)^2 + (b \sin A)^2$$

פתיחה:

$$a^2 = c^2 - 2bc \cos A + b^2 \cos^2 A + b^2 \sin^2 A$$

לפי זהות פיתגורס, sin²A + cos²A = 1. לכן:

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$$

דוגמה 1: חישוב צלע

במשולש a = 8, b = 5, וזווית C = 60°. מצאו את c.

פתרון.

$$c^2 = 8^2 + 5^2 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \cos 60° = 64 + 25 - 40 = 49$$ $$c = 7$$

דוגמה 2: חישוב זווית

במשולש a = 6, b = 8, c = 10. מצאו את זווית C.

פתרון. מסדרים את הנוסחה:

$$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{36 + 64 - 100}{96} = 0$$ $$C = 90°$$

המשולש ישר זווית.

טעויות נפוצות

1. שכחת סימן המינוס לפני 2ab·cos C. בלי המינוס, הביטוי שגוי בכל זווית שאינה ישרה.
2. בלבול בין הזווית C לצלע c. בנוסחה הזווית C מול הצלע c.
3. שימוש בכלל הקוסינוסים כשידועות שתי זוויות. אז עדיף כלל הסינוסים.
4. מצב מחשבון שגוי. ודאו Deg (מעלות), לא רדיאנים.

עמודים קשורים

• כלל הסינוסים
• שטח משולש לפי SAS
• זהות פיתגורס
• טריגונומטריה במשולש כללי