איך לפתור משוואה טריגונומטרית: מדריך עם דוגמאות

משוואה טריגונומטרית מצריכה זהירות: כל פונקציה טריגונומטרית מחזורית, אז יש אינסוף פתרונות בלי הגבלה. השלבים: בידוד הפונקציה, פתרון הזווית הבסיסית, הוספת כל הפתרונות עם פרמטר.

שלב 1: בידוד הפונקציה הטריגונומטרית

הביאו את המשוואה לצורה sin(x) = c, cos(x) = c, או tan(x) = c.

דוגמה. 2 sin(x) − 1 = 0. מבודדים:

$$\sin(x) = \frac{1}{2}$$

שלב 2: מצאו את הפתרון הראשי

חשבו את arcsin(c), arccos(c), או arctan(c). זה הפתרון הראשי בתחום [−π/2, π/2] (לסינוס וטנגנס) או [0, π] (לקוסינוס).

בדוגמה: arcsin(1/2) = π/6 (או 30°).

שלב 3: רשמו את כל הפתרונות הכלליים

לפי הפונקציה:

סינוס: אם sin(x) = c ו-α הפתרון הראשי, אז:

$$x = \alpha + 2\pi k \quad \text{או} \quad x = \pi - \alpha + 2\pi k$$

קוסינוס: אם cos(x) = c ו-α הפתרון הראשי, אז:

$$x = \alpha + 2\pi k \quad \text{או} \quad x = -\alpha + 2\pi k$$

טנגנס: אם tan(x) = c ו-α הפתרון הראשי, אז:

$$x = \alpha + \pi k$$

המחזוריות של טנגנס היא π, אז יש פחות פתרונות חוזרים.

בדוגמה: x = π/6 + 2πk או x = π − π/6 + 2πk = 5π/6 + 2πk.

שלב 4: סננו לתחום הנדרש (אם יש)

אם השאלה דורשת פתרונות בתחום מסוים, מציבים ערכי k = 0, 1, 2, −1, ... ובוחרים את אלה שבתחום.

בדוגמה, אם התחום [0, 2π]:

• k = 0: x = π/6 ו-x = 5π/6. שניהם בתחום.
• k = 1: x = π/6 + 2π (מחוץ לתחום).

תשובה. x = π/6 או x = 5π/6.

דוגמה 2: קוסינוס

פתרו cos(x) = −1/2 בתחום [0, 2π].

שלב 2. arccos(−1/2) = 2π/3 (כי הקוסינוס שלילי, התשובה ברביע השני).

שלב 3. x = 2π/3 + 2πk או x = −2π/3 + 2πk. השני שווה ערך ל-4π/3 + 2πk.

שלב 4. בתחום [0, 2π]: x = 2π/3 ו-x = 4π/3.

דוגמה 3: עם הצבה

פתרו 2 sin²(x) − 3 sin(x) + 1 = 0.

זיהוי דפוס. משוואה ריבועית בנעלם sin(x). הצבת t = sin(x):

$$2t^2 - 3t + 1 = 0 \implies (2t - 1)(t - 1) = 0$$

t = 1/2 או t = 1.

חזרה ל-x:

• sin(x) = 1/2: x = π/6 + 2πk או x = 5π/6 + 2πk.
• sin(x) = 1: x = π/2 + 2πk.

דוגמה 4: עם זהות

פתרו sin²(x) + cos(x) = 1.

שלב א. שימוש בזהות פיתגוראית. sin²(x) = 1 − cos²(x). הצבה:

$$1 - \cos^2(x) + \cos(x) = 1 \implies -\cos^2(x) + \cos(x) = 0 \implies \cos(x)(1 - \cos(x)) = 0$$

שלב ב. פירוק לגורמים. cos(x) = 0 או cos(x) = 1.

שלב ג. פתרון כל ענף.

• cos(x) = 0: x = π/2 + πk.
• cos(x) = 1: x = 2πk.

טעויות נפוצות

• חלוקה ב-sin(x) או cos(x). מאבדים פתרונות. במקום, מעבירים הכל לצד אחד ומפרקים. ראו חלוקה במשתנה.
• שכחת ענף שני. ל-sin(x) = c יש שני סוגי פתרונות ב-[0, 2π]. שכחה של אחד נותנת חצי מהתשובה.
• בלבול בין רדיאנים למעלות. בבגרות עובדים ברדיאנים. אם רואים 360° במקום 2π, חיתוך עם הסטנדרט.

עמודים קשורים

• משוואה טריגונומטרית
• זהויות סכום והפרש
• ערכי זוויות מיוחדות
• טעויות סימן ברביעים