משוואה טריגונומטרית: שיטות פתרון ודוגמאות

משוואה טריגונומטרית מערבת פונקציה טריגונומטרית של המשתנה. הקושי המרכזי: למצוא כל הפתרונות בתחום נתון, לא רק את הראשון.

תבנית

צורות אופייניות:

• sin x = a (יחיד)
• cos x = a, tan x = a
• משוואה ריבועית בפונקציה טריגו (sin²x − sin x − 6 = 0)
• משוואה עם פונקציות מעורבות (דורש זהויות)

פתרונות בסיסיים בתחום [0°, 360°]

שיטת הפתרון

1. פשטו עד שמקבלים משוואה בסיסית (sin x = a, וכך הלאה).
2. מצאו את הפתרון הבסיסי במחשבון (arcsin, arccos, וכך הלאה).
3. השלימו את הפתרון השני לפי הרביעים.
4. בדקו תחום: אם השאלה נדרשת ב-[0°, 360°], הוסיפו או הורידו 360° לפי הצורך.
5. בדקו תחום ההגדרה של פונקציות שמסולקות (חלוקה בטריגונומטרית).

דוגמה 1: בסיסית

פתרו sin x = 0.5 בתחום [0°, 360°].

פתרון.

$$x = \arcsin 0.5 = 30°$$

הפתרון השני: 180° − 30° = 150°. שני פתרונות: 30° ו-150°.

דוגמה 2: עם הצבה

פתרו 2 cos²x − 3 cos x + 1 = 0 בתחום [0°, 360°].

פתרון. הצבה t = cos x:

$$2t^2 - 3t + 1 = 0 \implies (2t - 1)(t - 1) = 0$$

t = 0.5: cos x = 0.5 ⇒ x = 60° או x = 300°.

t = 1: cos x = 1 ⇒ x = 0° או 360°.

דוגמה 3: שימוש בזהות

פתרו sin 2x = sin x בתחום [0°, 360°].

פתרון. מהזהות sin 2x = 2 sin x cos x:

$$2 \sin x \cos x = \sin x \implies \sin x (2 \cos x - 1) = 0$$

sin x = 0: x = 0°, 180°, 360°.

cos x = 0.5: x = 60°, 300°.

חמישה פתרונות: 0°, 60°, 180°, 300°, 360°.

דוגמה 4: עם זהות פיתגורס

פתרו sin²x + sin x − 2 cos²x = 0 בתחום [0°, 360°].

פתרון. מציבים cos²x = 1 − sin²x:

$$\sin^2 x + \sin x - 2(1 - \sin^2 x) = 0 \implies 3 \sin^2 x + \sin x - 2 = 0$$

הצבה t = sin x:

$$3t^2 + t - 2 = 0 \implies t = \frac{2}{3} \text{ או } t = -1$$

sin x = 2/3: x ≈ 41.81° או x ≈ 138.19°.

sin x = −1: x = 270°.

טעויות נפוצות

1. מציאת פתרון אחד בלבד. תמיד יש לחפש את כל הפתרונות בתחום.
2. שכחת מצב המחשבון. בבגרות תמיד Deg, לא Rad.
3. חלוקה בפונקציה טריגונומטרית ללא בדיקה שהיא לא אפס. עלולה לאבד פתרונות.

עמודים קשורים

• זהויות טריגונומטריות
• זהות פיתגורס
• זהויות זווית כפולה
• סוגי שאלות