חלוקה במשתנה: איך לאבד פתרונות בלי לשים לב

חלוקה במשתנה היא הדרך הקלאסית לאבד פתרון. כשעושים זאת בלי לבדוק, ה-x = 0 (או הפתרון שבו המשתנה מאפס) נעלם, ועלולים לפספס נקודה בבגרות.

הטעות הקלאסית

פתרו: x² = 3x.

טעות: חלוקה ב-x משני הצדדים.

$$\frac{x^2}{x} = \frac{3x}{x} \implies x = 3$$

התלמיד מקבל פתרון אחד.

מה שגוי. הפסדנו את x = 0. אכן 0² = 3·0 שניהם אפס, אז זה פתרון לגיטימי שאסור לוותר עליו.

פתרון נכון.

$$x^2 - 3x = 0 \implies x(x - 3) = 0$$

קיבלנו x = 0 או x = 3. שני פתרונות.

למה זה קורה

חלוקה דורשת שהמחלק יהיה שונה מאפס. אם לא בודקים את המקרה x = 0 בנפרד, הוא נעלם.

הטכניקה הנכונה. פירוק

במקום לחלק:

1. העבירו הכל לצד אחד. קבלת f(x) = 0.
2. פרקו לגורמים. g(x) · h(x) = 0.
3. כל גורם נותן פתרון. g(x) = 0 או h(x) = 0.

הטכניקה הזו אף פעם לא מאבדת פתרונות.

דוגמה נוספת. טריגונומטריה

פתרו: sin(x) · cos(x) = sin(x).

טעות: חלוקה ב-sin(x).

$$\cos(x) = 1 \implies x = 2\pi k$$

איבדנו את כל הפתרונות שבהם sin(x) = 0.

פתרון נכון.

$$\sin(x) \cdot \cos(x) - \sin(x) = 0 \implies \sin(x) (\cos(x) - 1) = 0$$

• sin(x) = 0: x = π k.
• cos(x) − 1 = 0: x = 2π k.

הפתרון השני מוכל בראשון, אז התשובה הכוללת היא x = π k. בלי הפירוק לא היינו מגלים את זה.

דוגמה ממעלה שלישית

פתרו: x³ − 4x = 0.

טעות: חילוק ב-x.

$$x^2 = 4 \implies x = \pm 2$$

איבדנו את x = 0.

פתרון נכון.

$$x(x^2 - 4) = 0 \implies x(x-2)(x+2) = 0$$

שלושה פתרונות: x = 0, x = 2, x = −2.

איך להימנע

• אסור לחלק במשתנה אלא אם בטוח שהוא שונה מאפס (למשל, נתון מהמשוואה).
• תמיד פרקו לגורמים במקום. זה לוקח עוד שורה אבל אף פעם לא מאבדים פתרון.
• בדקו x = 0 כשמתאים. אם הוא מקיים את המשוואה המקורית, הוא חלק מהתשובה.

כשמותר לחלק

אם המשוואה מבטיחה ש-x ≠ 0 (למשל, x במכנה במשוואה המקורית), אז חלוקה ב-x בטוחה. אבל גם אז, פירוק עדיף כי הוא לא דורש לזכור את ההנחה.

עמודים קשורים

• פירוק לגורמים
• משוואה ריבועית
• משוואה טריגונומטרית