פירוק לגורמים: כל הטכניקות לבגרות

פירוק לגורמים הוא היפוך של פתיחת סוגריים. הוא הכלי הבסיסי לפתרון משוואות, פישוט ביטויים רציונליים, וחקירת פונקציות.

ארבע הטכניקות העיקריות

1. הוצאת גורם משותף

ביטוי שיש לו גורם משותף לכל איבר:

$$ax + ay = a(x + y)$$

דוגמה: 6x³ + 9x² = 3x²(2x + 3).

2. נוסחאות הכפל המקוצר

ראו נוסחאות הכפל המקוצר.

3. פירוק לפי וייטה (פולינום ריבועי)

עבור x² + bx + c, מחפשים שני מספרים שסכומם −b ומכפלתם c. ראו משפט וייטה.

עבור ax² + bx + c, ניתן לפתור בנוסחת השורשים ולכתוב:

$$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$$

4. קיבוץ (לפולינומים בעלי 4 איברים)

מקבצים את האיברים לזוגות עם גורם משותף לכל זוג, ואז מוציאים גורם משותף כללי.

דוגמה 1: גורם משותף

פרקו: 4x³ − 12x².

פתרון. גורם משותף 4x²:

$$4x^3 - 12x^2 = 4x^2 (x - 3)$$

דוגמה 2: הפרש ריבועים

פרקו: x² − 16.

פתרון.

$$x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)$$

דוגמה 3: וייטה

פרקו: x² − 7x + 12.

פתרון. שני מספרים שסכומם 7 ומכפלתם 12: 3 ו-4.

$$x^2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4)$$

דוגמה 4: שילוב

פרקו: 2x³ − 18x.

פתרון. קודם גורם משותף:

$$2x^3 - 18x = 2x(x^2 - 9)$$

ואז הפרש ריבועים:

$$= 2x(x - 3)(x + 3)$$

דוגמה 5: קיבוץ

פרקו: x³ + 2x² − x − 2.

פתרון. קיבוץ בזוגות:

$$(x^3 + 2x^2) + (-x - 2) = x^2(x + 2) - 1(x + 2) = (x + 2)(x^2 - 1)$$

ואז הפרש ריבועים:

$$= (x + 2)(x - 1)(x + 1)$$

דוגמה 6: סכום קוביות

פרקו: 8x³ + 27.

פתרון.

$$8x^3 + 27 = (2x)^3 + 3^3 = (2x + 3)(4x^2 - 6x + 9)$$

טעויות נפוצות

1. שכחת הסימן בנוסחת ריבוע הפרש. (a − b)² = a² − 2ab + b², לא a² + 2ab + b².
2. דילוג על גורם משותף בתחילת הפירוק. תמיד לבדוק קודם.
3. טעות בסימן בקוביות. a³ + b³ נותן גורם ריבועי a² − ab + b² (מינוס), a³ − b³ נותן a² + ab + b² (פלוס).

עמודים קשורים

• נוסחאות הכפל המקוצר
• משפט וייטה
• נוסחת השורשים
• משוואות