נוסחאות הכפל המקוצר: ריבוע סכום, ריבוע הפרש, וההפרש בריבועים

נוסחאות הכפל המקוצר הן זהויות אלגבריות שעולות בתדירות גבוהה בכל שאלת אלגברה. שליטה בהן ובהיפך שלהן (פירוק לגורמים) היא קריטית.

הנוסחאות הבסיסיות

ריבוע סכום

$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$

ריבוע הפרש

$$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$

הפרש ריבועים

$$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$$

חזקה שלישית

ריבוע סכום וההפרש מועלים לחזקה השלישית

$$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3$$ $$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2 b + 3ab^2 - b^3$$

סכום והפרש קוביות

$$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$$ $$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$$

שימו לב: בגורם הריבועי האחרון, אין כפל ב-2 לפני ab (בניגוד לנוסחת ריבוע).

דוגמה 1: פתיחת סוגריים

חשבו: (2x − 3)².

פתרון. לפי נוסחת ריבוע הפרש עם a = 2x ו-b = 3:

$$(2x - 3)^2 = 4x^2 - 12x + 9$$

דוגמה 2: פירוק לגורמים

פרקו: x² − 25.

פתרון. זה הפרש ריבועים עם a = x ו-b = 5:

$$x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5)$$

דוגמה 3: סכום קוביות

פרקו: x³ + 8.

פתרון.

$$x^3 + 8 = x^3 + 2^3 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)$$

שימוש: פישוט ביטויים

חשבו את 7² בלי מחשבון.

פתרון. נכתוב 7 כ-5+2:

$$7^2 = (5+2)^2 = 25 + 20 + 4 = 49$$

או 7 כ-10−3:

$$7^2 = (10-3)^2 = 100 - 60 + 9 = 49$$

טעויות נפוצות

1. שכחת 2ab באמצע. הכי נפוצה! (a+b)² ≠ a²+b². תמיד יש לכפל באמצע פי 2.
2. שכחת ההפרש בגורם הריבועי בקוביות. נוסחת סכום קוביות נותנת (a²−ab+b²), לא (a²+ab+b²).
3. טעות בסימן בנוסחת ריבוע הפרש. (a−b)² = a² − 2ab + b², ה-2ab שלילי.

עמודים קשורים

• נוסחת השורשים
• משפט וייטה
• השלמה לריבוע
• משוואות אלגבריות