קווים מקבילים לעומת ניצבים: שיפועים ויחסים

קווים מקבילים וקווים ניצבים הם שני יחסים בסיסיים בין קווים במישור אנליטי. הם נבדלים על ידי שיפועים.

הגדרות

קווים מקבילים: שני קווים שאינם נחתכים. במישור אוקלידי, שני קווים מקבילים אם הם חולקים שיפוע (או ששניהם אנכיים).

קווים ניצבים: שני קווים שנחתכים בזווית של 90°.

תנאי שיפוע

מקבילים:

$$m_1 = m_2$$

ניצבים:

$$m_1 \cdot m_2 = -1$$

כלומר השיפוע של אחד הוא הפכי שלילי של השני.

טבלת השוואה

דוגמאות

זוג מקבילים

y = 2x + 3 ו-y = 2x − 5. שניהם בשיפוע 2.

זוג ניצבים

y = 2x + 3 ו-y = −x/2 + 1. שיפוע ראשון 2, שני −1/2. מכפלה: −1. ניצבים.

זוג שלא מקבילים ולא ניצבים

y = 2x + 3 ו-y = 3x − 1. שיפועים שונים (2 ≠ 3), מכפלה 6 ≠ −1. הם נחתכים בזווית שאינה ישרה.

מקבילים. אסטרטגיה למציאת קו

נתון: מצאו קו ℓ המקביל ל-y = 4x − 1 ועובר דרך (2, 5).

שלב 1. שיפוע המקור: m = 4. השיפוע של ℓ שווה: m = 4.

שלב 2. משוואת ℓ:

$$y - 5 = 4(x - 2) \implies y = 4x - 3$$

ניצבים. אסטרטגיה למציאת קו

נתון: מצאו קו n הניצב ל-y = 2x − 7 ועובר דרך (4, 1).

שלב 1. שיפוע המקור: m = 2. השיפוע הניצב: −1/2.

שלב 2. משוואת n:

$$y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 4) \implies y = -\frac{x}{2} + 3$$

מקרה מיוחד. קווים אנכיים ואופקיים

• קו אופקי: y = c. שיפוע 0.
• קו אנכי: x = c. אין שיפוע מוגדר (אינסופי).

מקבילים:

• שני קווים אופקיים מקבילים.
• שני קווים אנכיים מקבילים.

ניצבים: קו אופקי ניצב לקו אנכי. השיפועים 0 ו-"לא מוגדר" לא מקיימים m₁ · m₂ = −1 במובן הצמצומי, אבל גאומטרית הזווית 90°.

דוגמה. מציאת אנך אמצעי

נקודות A(0, 0) ו-B(4, 6). מצאו את האנך האמצעי של AB.

שלב 1. נקודת אמצע: M = (2, 3).

שלב 2. שיפוע AB: m = (6 − 0)/(4 − 0) = 3/2.

שלב 3. שיפוע אנך: −2/3.

שלב 4. משוואת אנך אמצעי:

$$y - 3 = -\frac{2}{3}(x - 2) \implies y = -\frac{2x}{3} + \frac{4}{3} + 3 = -\frac{2x}{3} + \frac{13}{3}$$

בהוכחות גאומטריות

בגאומטריה אוקלידית (לא אנליטית), מקבילים וניצבים מוגדרים בלי שיפועים:

• מקבילים: לא נחתכים.
• ניצבים: נחתכים בזווית 90°.

המעבר לגאומטריה אנליטית מאפשר לבטא את היחסים האלה בעזרת מספרים.

עמודים קשורים

• נוסחאות קו ישר
• נוסחת שיפוע
• איך למצוא משוואת מעגל
• נוסחת מרחק