נוסחת מרחק בין שתי נקודות במישור ובמרחב

נוסחת המרחק מחשבת את אורך הקטע שבין שתי נקודות. היא נובעת ישירות ממשפט פיתגורס, ומשמשת בכל בעיית גאומטריה אנליטית.

הנוסחה במישור

עבור שתי נקודות A = (x_1, y_1) ו-B = (x_2, y_2):

$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$

הנוסחה במרחב (5 יחידות)

עבור A = (x_1, y_1, z_1) ו-B = (x_2, y_2, z_2):

$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$$

הוכחה

נמתח מנקודה A קו מקביל לציר ה-x עד שיגיע ל-y של B. ואז קו מקביל לציר ה-y עד B. נוצר משולש ישר זווית עם:

• ניצב אופקי באורך |x_2 − x_1|
• ניצב אנכי באורך |y_2 − y_1|
• היתר באורך d

לפי משפט פיתגורס:

$$d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$$

דוגמה 1: מרחק במישור

מצאו את המרחק בין A = (1, 2) ו-B = (4, 6).

פתרון.

$$d = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

דוגמה 2: מרחק במרחב

מצאו את המרחק בין P = (1, 2, 3) ו-Q = (4, 6, 7).

פתרון.

$$d = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2 + (7-3)^2} = \sqrt{9 + 16 + 16} = \sqrt{41}$$

דוגמה 3: שימוש להוכחת משולש שווה-שוקיים

הוכיחו שהמשולש עם קודקודים A = (0, 0), B = (4, 0), ו-C = (2, 3) שווה-שוקיים.

פתרון.

$$AC = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}, \quad BC = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$$

AC שווה ל-BC, אז המשולש שווה-שוקיים עם בסיס AB.

שימוש: בדיקת שורש חיובי בלבד

הנוסחה תמיד נותנת ערך אי-שלילי כי הסכום של ריבועים אי-שלילי, ואנחנו לוקחים שורש חיובי.

טעויות נפוצות

1. שכחת שורש. הנוסחה היא שורש של סכום הריבועים, לא הסכום עצמו.
2. חישוב ההפרשים בסדר הפוך. לא משנה, כי הריבוע מבטל סימן.
3. שימוש בנוסחת מישור על נקודות במרחב. במרחב יש גם רכיב z.

עמודים קשורים

• נוסחת אמצע קטע
• שיפוע ישר
• גאומטריה אנליטית: הישר