הישר במישור: שיפוע, משוואה, מקבילים ומאונכים, ומרחק

הישר במישור הוא נושא היסוד של הגאומטריה האנליטית. כל בעיה אנליטית מתחילה ממציאת משוואת ישר, ולכן שליטה בחישוב שיפוע ובכתיבת משוואה היא תנאי מקדים לכל היתר.

חמש הצורות של משוואת ישר

נוסחאות מרכזיות

מרחק בין שתי נקודות:

$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$

אמצע קטע:

$$M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$$

שיפוע מישר העובר בשתי נקודות:

$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

מרחק נקודה מישר ax + by + c = 0:

$$d = \frac{|a x_0 + b y_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$

ישרים מקבילים ומאונכים

דוגמה: מציאת מאונך עובר בנקודה

מצאו את משוואת הישר המאונך לישר y = 2x + 3 ועובר בנקודה (1, 4).

פתרון. שיפוע הישר הנתון הוא 2. שיפוע המאונך הוא −1/2 (מכפלה שווה למינוס אחד). משוואת המאונך:

$$y - 4 = -\frac{1}{2}(x - 1) \implies y = -\frac{1}{2}x + \frac{9}{2}$$

דוגמה: נקודת חיתוך בין ישרים

מצאו את נקודת החיתוך של y = 2x + 1 ו-y = −x + 4.

פתרון. משוואים: 2x + 1 = −x + 4 ⇒ 3x = 3 ⇒ x = 1. הצבה: y = 2·1 + 1 = 3. נקודת החיתוך היא (1, 3).

טעויות נפוצות

1. שכחת ערך מוחלט בנוסחת מרחק נקודה מישר. המרחק תמיד אי-שלילי.
2. שימוש בנוסחת שיפוע כשהישר אנכי. ישר אנכי הוא x = c, אין שיפוע מוגדר.
3. הצבה שגויה בנוסחת מאונך. השיפוע של המאונך הוא הופכי שלילי, לא רק הופכי.
4. בלבול בין חיתוך עם ציר x לחיתוך עם ציר y. חיתוך עם ציר x: מציבים y = 0. חיתוך עם ציר y: מציבים x = 0.

עמודים קשורים

• גאומטריה אנליטית
• המעגל
• הפרבולה