נוסחת אמצע קטע: M = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)

נוסחת אמצע קטע היא אחת הנוסחאות הפשוטות בגאומטריה אנליטית: אמצע קטע הוא הממוצע של שתי הנקודות הקיצוניות שלו.

הנוסחה במישור

עבור קטע מ-A = (x_1, y_1) עד B = (x_2, y_2), האמצע M:

$$M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$$

הנוסחה במרחב

עבור A = (x_1, y_1, z_1) ו-B = (x_2, y_2, z_2):

$$M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{z_1 + z_2}{2} \right)$$

הוכחה אינטואיטיבית

אמצע קטע נמצא ב-50% של הדרך מ-A ל-B. בכיוון x, הקואורדינטה היא הממוצע של ה-x-ים. באופן דומה לכיוון y ולכיוון z.

דוגמה 1: חישוב ישיר

מצאו את האמצע של הקטע בין A = (2, 3) ו-B = (8, 11).

פתרון.

$$M = \left( \frac{2+8}{2}, \frac{3+11}{2} \right) = (5, 7)$$

דוגמה 2: מציאת נקודת קצה אחרת

האמצע של קטע AB הוא M = (4, 5), ו-A = (1, 2). מצאו את B.

פתרון.

$$4 = \frac{1 + x_B}{2} \implies x_B = 7$$ $$5 = \frac{2 + y_B}{2} \implies y_B = 8$$

B = (7, 8).

דוגמה 3: הוכחת מקבילית

הוכיחו שהמרובע ABCD עם A = (0, 0), B = (5, 0), C = (7, 3), D = (2, 3) הוא מקבילית.

פתרון. מקבילית מתאפיינת באמצעי אלכסונים זהים (אלכסונים חוצים זה את זה).

אמצע AC: ((0+7)/2, (0+3)/2) = (3.5, 1.5)
אמצע BD: ((5+2)/2, (0+3)/2) = (3.5, 1.5)

האמצעים זהים, אז המרובע מקבילית.

טעויות נפוצות

1. חיסור במקום חיבור. הנוסחה היא (x_1 + x_2)/2, לא (x_2 − x_1)/2. ההפרש שייך לנוסחת מרחק או וקטור.
2. חישוב לא נכון כשנתון רק חלק. אם נתונה נקודה ואמצע, חישבו את הנקודה השנייה דרך משוואה.

עמודים קשורים

• נוסחת מרחק
• שיפוע ישר
• גאומטריה אנליטית: הישר