חמש הצורות של משוואת ישר במישור

לכל ישר במישור (שאינו אנכי) יש הרבה צורות אקוויולנטיות של משוואה. הבחירה בין הצורות תלויה בנתונים ובמטרה.

חמש הצורות

1. צורה כללית

$$ax + by + c = 0$$

נוחה לחישוב מרחק נקודה מישר ולמערכות משוואות.

2. צורת שיפוע-חיתוך

$$y = m x + n$$

m הוא השיפוע, n הוא חיתוך עם ציר ה-y. נוחה לזיהוי מהיר של תכונות הישר.

3. צורת נקודה-שיפוע

$$y - y_1 = m (x - x_1)$$

נוחה כאשר ידועים נקודה (x_1, y_1) ושיפוע m.

4. צורת שתי נקודות

$$\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$$

או באופן אקוויולנטי, חישוב שיפוע ואז נקודה-שיפוע.

5. צורת חיתוכים

$$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$$

נוחה כשידועים חיתוכים: a עם ציר ה-x, b עם ציר ה-y.

ישרים מיוחדים

ישר אנכי

$$x = c$$

לא ניתן לכתוב בצורת y = mx + n כי השיפוע לא מוגדר.

ישר אופקי

$$y = c$$

שיפוע אפס. אפשר לכתוב בכל הצורות.

דוגמה 1: שלוש צורות לאותו ישר

ישר עובר ב-(1, 2) עם שיפוע 3. כתבו אותו בשלוש צורות.

פתרון.

צורת נקודה-שיפוע:

$$y - 2 = 3(x - 1)$$

צורת שיפוע-חיתוך:

$$y = 3x - 1$$

צורה כללית:

$$3x - y - 1 = 0$$

דוגמה 2: ישר משתי נקודות

מצאו את משוואת הישר העובר ב-(0, 5) וב-(3, −1).

פתרון. שיפוע:

$$m = \frac{-1 - 5}{3 - 0} = -2$$

חיתוך עם ציר ה-y: 5. צורת שיפוע-חיתוך:

$$y = -2x + 5$$

דוגמה 3: ישר משני חיתוכים

ישר חוצה את ציר ה-x ב-(4, 0) ואת ציר ה-y ב-(0, 6). מצאו את משוואתו.

פתרון. צורת חיתוכים:

$$\frac{x}{4} + \frac{y}{6} = 1$$

או, בהמרה לצורה כללית:

$$3x + 2y = 12 \implies 3x + 2y - 12 = 0$$

טעויות נפוצות

1. שכחה לבדוק אם הישר אנכי. אם שתי נקודות בעלות אותו x, הישר אנכי וצורת y = mx + n אינה תקפה.
2. טעות בסימן בצורה הכללית. תמיד יש לסדר ל-ax + by + c = 0 (אגף ימני אפס).
3. בלבול בין צורות. צורת חיתוכים דורשת שני חיתוכים שונים מאפס. אם אחד החיתוכים בראשית, היא לא מתאימה.

עמודים קשורים

• שיפוע ישר
• מרחק נקודה מישר
• גאומטריה אנליטית: הישר