איך למצוא את משוואת המעגל: מדריך מקוצר

מעגל במישור אנליטי מאופיין במרכז (a, b) ורדיוס r. הצורה הקנונית של משוואת המעגל:

$$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$$

יש כמה דרכים נפוצות למצוא את המשוואה, תלוי בנתונים.

מקרה 1: ידועים מרכז ורדיוס

ישירות: מציבים בנוסחה הקנונית.

דוגמה. מרכז (2, −3), רדיוס 5:

$$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25$$

מקרה 2: ידוע מרכז ונקודה על המעגל

מחשבים את הרדיוס כמרחק מהמרכז לנקודה.

דוגמה. מרכז (1, 1) ונקודה (4, 5) על המעגל.

$$r = \sqrt{(4-1)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$$

משוואה: (x − 1)² + (y − 1)² = 25.

מקרה 3: ידועות שלוש נקודות על המעגל

מציבים כל נקודה במשוואה הכללית x² + y² + Dx + Ey + F = 0 ופותרים מערכת של 3 משוואות ב-3 נעלמים D, E, F.

דוגמה. נקודות (1, 1), (1, −1), (3, 1).

הצבה:

• 1 + 1 + D + E + F = 0 → D + E + F = −2.
• 1 + 1 + D − E + F = 0 → D − E + F = −2.
• 9 + 1 + 3D + E + F = 0 → 3D + E + F = −10.

מ-(I) ו-(II): E = 0. מ-(I): D + F = −2. מ-(III): 3D + F = −10.

חיסור: 2D = −8, אז D = −4. וְ-F = 2.

המשוואה הכללית: x² + y² − 4x + 2 = 0. השלמה לריבוע:

$$(x - 2)^2 - 4 + y^2 + 2 = 0 \implies (x-2)^2 + y^2 = 2$$

מרכז (2, 0), רדיוס √2.

מקרה 4: נתון קו משיק ונקודת המגע

הרדיוס לנקודת המגע ניצב למשיק. השיפוע של הרדיוס הוא −1/m כאשר m שיפוע המשיק. הקו מהנקודה בשיפוע הזה עובר דרך המרכז.

דוגמה. משיק y = 2x + 1 בנקודה (0, 1). ידוע גם שהמרכז על ציר y.

הרדיוס בנקודת המגע: שיפוע −1/2. קו מ-(0, 1) בשיפוע −1/2: y = −x/2 + 1. מציבים x = 0 (המרכז על ציר y): y = 1. אז המרכז הוא (0, 1).

אבל זה גם נקודת המגע, מה שהוביל לסתירה. נכון לשאלות מסוג זה הנתונים מפצים, ובמקרה הספציפי המרכז אינו על ציר y. הדוגמה כאן רק להמחשת השיטה.

מקרה 5: ממעגל החוסם משולש

המרכז של המעגל החוסם משולש הוא נקודת המפגש של אנכים אמצעיים של הצלעות. הרדיוס שווה מהמרכז לכל קודקוד.

אלגוריתם. מוצאים שני אנכים אמצעיים ופותרים מערכת. נקודת המפגש היא המרכז. הרדיוס: מרחק מהמרכז לאחד הקודקודים.

הצורה הכללית למרכז ולרדיוס

המשוואה הכללית: x² + y² + Dx + Ey + F = 0.

• מרכז: (−D/2, −E/2).
• רדיוס: r = √((D/2)² + (E/2)² − F).

הרדיוס תקין רק כשהביטוי תחת השורש חיובי. אחרת, אין מעגל ממשי.

טעויות נפוצות

• בלבול בין סימן הקואורדינטה לסימן בנוסחה. במרכז (a, b), הנוסחה היא (x − a)² + (y − b)². עבור מרכז (−3, 4), המשוואה: (x + 3)² + (y − 4)² = r².
• שכחת לקחת שורש לרדיוס. המספר בצד ימין של המשוואה הוא r², לא r.
• השלמה לריבוע שגויה. בפיתוח של (x − a)² חייבים להוסיף a² בתוך הסוגריים ולהפחית אותו מחוץ.

עמודים קשורים

• משוואת מעגל
• מעגל
• השלמה לריבוע
• נוסחת מרחק