מעגל: תכונות, משפטים מרכזיים, נוסחאות שטח והיקף

מעגל הוא אוסף כל הנקודות במישור שמרחקן מנקודה קבועה (המרכז) שווה לאורך קבוע (הרדיוס).

אלמנטים של מעגל

משפטים מרכזיים

משפט הזווית המרכזית וההיקפית

הזווית המרכזית גדולה פי 2 מהזווית ההיקפית על אותו קשת:

$$\theta_{\text{central}} = 2 \cdot \theta_{\text{inscribed}}$$

משפט הזוויות ההיקפיות

כל הזוויות ההיקפיות על אותו קשת. שוות.

משפט המשיק והרדיוס

המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה.

משפט המיתר והמרחק

מרחק מרכז המעגל ממיתר מאונך למיתר וחוצה אותו.

זווית בין מיתר ומשיק

הזווית בין מיתר ומשיק שווה לזווית ההיקפית על הקשת שמהצד השני של המיתר.

משפט המרובע החסום

מרובע חסום במעגל אם ורק אם סכום זוגות זוויות נגדיות = 180°.

נוסחאות

עם רדיוס r, קוטר d, וזווית מרכזית α (במעלות):

היקף וקוטר:

$$P = 2\pi r = \pi d$$

שטח עיגול:

$$S = \pi r^2$$

אורך קשת:

$$L = \frac{\alpha}{360°} \cdot 2\pi r$$

שטח גזרה:

$$S_{\text{sector}} = \frac{\alpha}{360°} \cdot \pi r^2$$

דוגמה

במעגל שרדיוסו 10, זווית מרכזית של 72° מתאימה לקשת. מצאו את אורך הקשת ושטח הגזרה. פתרון.

$$L = \frac{72}{360} \cdot 2\pi \cdot 10 = \frac{1}{5} \cdot 20\pi = 4\pi$$ $$S_{\text{sector}} = \frac{72}{360} \cdot \pi \cdot 100 = 20\pi$$

טעויות נפוצות

1. בלבול בין מעגל לעיגול בשאלות "מה השטח". אם נשאלים על השטח. תמיד עיגול.
2. שימוש ברדיאנים כאשר השאלה במעלות. ודאו עקביות במשפט הקשת והגזרה.
3. שכחת שהמשיק מאונך לרדיוס. זו תכונה חיונית ברוב הוכחות המשיק.
4. הנחה שהזוויות ההיקפיות שוות גם כשהן על קשתות שונות. שוות רק על אותו קשת.

עמודים קשורים

• גזרה
• משפטי הזווית במעגל
• משוואת מעגל
• הוכחות במעגל