הוכחות במעגל: שיטות, משפטים, ודוגמאות

הוכחות במעגל משלבות את כל משפטי המעגל. הקושי המרכזי: זיהוי המשפט הנכון מתוך הציור.

משפטים מרכזיים לשימוש

1. זווית מרכזית = פי 2 מזווית היקפית (על אותו קשת)
2. זוויות היקפיות על אותו קשת שוות
3. זווית הנשענת על קוטר = 90°
4. משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
5. שני משיקים מנקודה חיצונית שווים
6. מרובע חסום: סכום זוויות נגדיות = 180°
7. זווית בין מיתר ומשיק = זווית היקפית על הקשת מהצד השני
8. מאונך מהמרכז למיתר חוצה אותו

שיטת הפתרון

1. זהו אילו אלמנטים יש בציור (זווית מרכזית, היקפית, מיתר, משיק).
2. חשבו אילו משפטים רלוונטיים למצב.
3. בנו את שרשרת ההוכחה משלב לשלב.
4. השתמשו במשפטים שקיבלתם בלי "להמציא" אמיתות חדשות.

דוגמה 1: זווית הנשענת על קוטר

נתון מעגל O, ו-AB קוטר. C נקודה על המעגל. הוכיחו ש-∠ACB = 90°.

פתרון.

הזווית AOB הוא 180° (כי AB קוטר, ישר עובר דרך המרכז). הזווית ∠ACB היא היקפית הנשענת על אותה קשת AB. לפי משפט הזווית ההיקפית:

$$\angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{180°}{2} = 90°$$

∎

דוגמה 2: זוויות היקפיות שוות

נתון מעגל O ושני מיתרים AB ו-CD נחתכים בנקודה P בתוך המעגל. הוכיחו ש-ΔAPC ~ ΔBPD.

פתרון.

1. ∠APC = ∠BPD (זוויות קודקודיות)
2. ∠ACP = ∠BDP (זוויות היקפיות על אותה קשת AB)

לפי משפט הדמיון ז.ז: ΔAPC ~ ΔBPD. ∎

מסקנה (מכפלת מיתרים): PA · PB = PC · PD.

דוגמה 3: מרובע חסום

נתון מרובע ABCD חסום במעגל. ידוע ∠A = 80°. מצאו את ∠C.

פתרון. לפי משפט המרובע החסום:

$$\angle A + \angle C = 180° \implies \angle C = 180° - 80° = 100°$$

דוגמה 4: משיק ורדיוס

נתון מעגל O. נקודה P חיצונית. PT משיק במשיקות T. הוכיחו ש-OP² = OT² + PT².

פתרון. OT מאונך ל-PT (משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה). אז המשולש OTP ישר זווית עם זווית ישרה ב-T.

לפי פיתגורס:

$$OP^2 = OT^2 + PT^2$$

∎

טעויות נפוצות

1. שכחה לציין שזה משפט. כל זווית או יחס חייבים להישען על משפט.
2. שימוש בנוסחת חישוב במקום במשפט. במעגל לעיתים אפשר לחשב במספרים, אבל הוכחה אלגברית עוצמתית יותר.
3. בלבול בין קשתות. זוויות היקפיות שוות רק על אותו קשת.

עמודים קשורים

• משפטי המעגל
• משפט הזווית ההיקפית
• מרובע חסום במעגל
• מעגל