משפטי המעגל לבגרות: זווית מרכזית, היקפית, מיתרים, ומשיקים

המעגל הוא הנושא העשיר במשפטים בכל הגאומטריה לבגרות. שמונה משפטים מרכזיים שולטים בכמעט כל הוכחה במעגל, וזיהוי המשפט הנכון הוא חצי מהפתרון.

המשפטים המרכזיים

1. זווית מרכזית וזווית היקפית

זווית מרכזית גדולה פי שתיים מזווית היקפית הנשענת על אותו קשת.

$$\theta_{\text{central}} = 2 \cdot \theta_{\text{inscribed}}$$

2. זוויות היקפיות על אותו קשת

כל זוויות היקפיות הנשענות על אותו קשת שוות זו לזו.

3. זווית היקפית הנשענת על קוטר

תמיד שווה ל-90°. מסקנה: אם משולש חסום במעגל שמרכזו על אחת מצלעותיו, אז המשולש ישר-זווית והצלע היא הקוטר.

4. משיק ורדיוס

המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה.

5. שני משיקים מנקודה חיצונית

שני קטעי משיק מאותה נקודה חיצונית למעגל שווים באורכם. הם גם יוצרים זווית שווה עם הקטע מהנקודה למרכז.

6. מרחק מרכז ממיתר

הקטע מהמרכז למיתר, המאונך למיתר, חוצה את המיתר. וההפך: מאונך אמצעי של מיתר עובר במרכז המעגל.

7. זווית בין מיתר ומשיק

הזווית בין מיתר לבין משיק בנקודת ההשקה שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מהצד השני.

8. מרובע חסום במעגל

מרובע חסום במעגל אם ורק אם סכום זוגות זוויות נגדיות שווה ל-180°.

איך לזהות את המשפט הנכון

דוגמה: שימוש בכמה משפטים

נתון מעגל O ומשולש ABC חסום בו עם AB קוטר. מצאו את גודל זווית C.

פתרון. AB הוא קוטר ⇒ זווית C היא זווית היקפית הנשענת על קוטר ⇒ זווית C שווה ל-90°.

טעויות נפוצות

1. שימוש בזווית מרכזית על קשת שונה מהיקפית. שני הזוויות חייבות לעמוד על אותו קשת.
2. שכחה שיש שני קשתות אפשריים למיתר. הזווית ההיקפית מצד אחד שונה מצד שני (סכום שתיהן: 180°).
3. הנחה שהאלכסונים של מרובע חסום מאונכים. אין משפט כזה. רק סכום הזוויות הנגדיות 180°.

עמודים קשורים

• מעגל
• גאומטריה
• גאומטריה אנליטית: המעגל