משפט הזווית ההיקפית: זווית מרכזית גדולה פי 2 מזווית היקפית

משפט הזווית ההיקפית הוא אחד המשפטים המרכזיים של גאומטריית המעגל. הוא מקשר בין שני סוגי זוויות במעגל וגוזר ממנו מסקנות חשובות.

ניסוח המשפט

זווית מרכזית במעגל גדולה פי שתיים מזווית היקפית הנשענת על אותו קשת:

$$\theta_{\text{central}} = 2 \cdot \theta_{\text{inscribed}}$$

או באופן שקול:

$$\theta_{\text{inscribed}} = \frac{1}{2} \theta_{\text{central}}$$

הוכחה (מקרה מרכזי)

המקרה הפשוט: הזווית ההיקפית מקיים את אחד מצדדיו עובר במרכז המעגל. נסמן את הזווית ההיקפית A, המרכז O, ואת הנקודה הנגדית B. המשולש OAB שווה-שוקיים (OA = OB = רדיוס), ולכן הזוויות OAB ו-OBA שוות. נקרא להן α. הזווית המרכזית AOB היא 180° − 2α (מסכום זוויות במשולש). אבל אנחנו מתעניינים בזווית הפנימית: הזווית הצמודה ל-180° − 2α היא 2α. וזו בדיוק 2 · α = 2 · A.

מקרים אחרים (כששני הצדדים אינם עוברים במרכז) מוכחים על-ידי חלוקה למקרים פשוטים.

מסקנות חשובות

מסקנה 1: זוויות היקפיות על אותו קשת

כל הזוויות ההיקפיות הנשענות על אותו קשת שוות זו לזו, כי הן כולן שוות לחצי הזווית המרכזית.

מסקנה 2: זווית הנשענת על קוטר

אם הזווית המרכזית היא 180° (כלומר הקשת היא חצי-מעגל ועל הצלע הנשענת היא קוטר), אז הזווית ההיקפית היא 90°. כל משולש חסום במעגל שצלעו קוטר הוא ישר זווית.

דוגמה 1: זווית פשוטה

במעגל O, זווית מרכזית AOB = 80°. מצאו את גודל הזווית ההיקפית הנשענת על הקשת הקצרה AB.

פתרון.

$$\theta_{\text{inscribed}} = \frac{80°}{2} = 40°$$

דוגמה 2: זווית בקוטר

במעגל O, AB קוטר. נקודה C על המעגל. מצאו את זווית ACB.

פתרון. הזווית המרכזית AOB = 180° (קוטר). לכן:

$$\angle ACB = \frac{180°}{2} = 90°$$

דוגמה 3: זוויות על אותו קשת

במעגל O עם הקודקודים A, B, C, ו-D על המעגל. נתון זווית ACB = 40°. מצאו את זווית ADB.

פתרון. ACB ו-ADB שתי זוויות היקפיות הנשענות על אותו מיתר AB ועל אותו קשת. לכן שוות:

$$\angle ADB = 40°$$

טעויות נפוצות

1. בלבול בין קשת לבין מיתר. הזוויות נשענות על אותו קשת, לא רק על אותו מיתר. שתי זוויות מצדדים שונים של המיתר על-פי קשתות שונות, וסכומן 180°.
2. שכחת חלוקה ב-2 בכיוון הפוך. אם נתונה זווית היקפית, הזווית המרכזית פי 2 ממנה.
3. הנחה שמשולש חסום במעגל חייב להיות ישר זווית. רק אם אחת מצלעותיו היא קוטר. אחרת לא.

עמודים קשורים

• מעגל
• משפטי המעגל
• גאומטריה