מרובע חסום במעגל: סכום זוגות זוויות נגדיות הוא 180°

משפט המרובע החסום במעגל הוא תנאי אם-ורק-אם לקיום מרובע חסום. כל ההוכחות הנוגעות במרובעים חסומים מסתמכות על המשפט הזה.

ניסוח המשפט

מרובע ABCD חסום במעגל אם ורק אם סכום זוויות נגדיות במרובע הוא 180°:

$$\angle A + \angle C = 180°$$ $$\angle B + \angle D = 180°$$

הוכחה (כיוון "אם")

נניח ABCD חסום. נסמן את הקשת BCD (זו שבין B ו-D הכוללת את C). הזווית A היא היקפית הנשענת על הקשת הזו. הזווית C היא היקפית הנשענת על הקשת שלא כוללת אותה (BAD).

סכום שתי הקשתות הוא 360°. הזווית המרכזית של כל קשת שווה לאורך הקשת. הזווית ההיקפית היא חצי הזווית המרכזית.

לכן:

$$\angle A + \angle C = \frac{1}{2}(\text{קשת BCD}) + \frac{1}{2}(\text{קשת BAD}) = \frac{1}{2} \cdot 360° = 180°$$

ההפך

אם במרובע מתקיים ∠A + ∠C = 180°, אז אפשר לחסום אותו במעגל. ההוכחה היא לפי שלילה: מניחים שלא ניתן לחסום ומגיעים לסתירה.

מי מבין המרובעים נחסם?

דוגמה 1: בדיקה ישירה

במרובע, זוויות A = 70°, B = 110°, C = 110°, D = 70°. האם נחסם במעגל?

פתרון. סכום נגדיות: A + C = 70° + 110° = 180°. וגם B + D = 110° + 70° = 180°. כן, נחסם.

דוגמה 2: מציאת זווית חסרה

במרובע חסום ABCD, ידוע ∠A = 80° ו-∠B = 100°. מצאו את ∠C ואת ∠D.

פתרון.

$$\angle C = 180° - \angle A = 100°$$ $$\angle D = 180° - \angle B = 80°$$

דוגמה 3: הוכחה

במרובע ABCD, AB = AD ו-CB = CD. הוכיחו שהמרובע נחסם במעגל.

פתרון. המרובע סימטרי ביחס לאלכסון AC (משולשים ABC ו-ADC חופפים לפי צ.צ.צ). לכן זווית B = זווית D.

סכום זוויות במרובע: A + B + C + D = 360°. ומ-B = D נקבל:

$$A + 2B + C = 360° \implies (A + C) + 2B = 360°$$

לכאורה זה לא מספיק. ננסה אחרת: אנחנו צריכים להוכיח ש-A + C = 180° או ש-B + D = 180°. בלי תנאים נוספים, זה לא תמיד נכון. דלתון רגיל (AB = AD, CB = CD, אבל בלי תנאי על הצלעות הצולבות) לרוב לא נחסם.

האמת היא שדלתון נחסם רק אם שתי זוויותיו הצדדיות (B ו-D) הן זוויות ישרות. במקרה זה דלתון "ימני".

טעויות נפוצות

1. הנחה שכל מקבילית נחסמת. רק מלבן נחסם.
2. שכחה שגם זוגות הזוויות הנגדיות האחרים מסתכמים ל-180°. שני התנאים תקפים, וכל אחד מהם אם-ורק-אם.
3. בלבול בין מרובע חסום למרובע חוסם. חסום: כל הקודקודים על מעגל. חוסם: כל הצלעות משיקות למעגל.

עמודים קשורים

• משפט הזווית ההיקפית
• מעגל
• משפטי המעגל