גזרה (מקטע מעגלי): שטח, אורך קשת, ונוסחאות

גזרה היא חלק של עיגול שמוקף בשני רדיוסים ובקשת ביניהם. הצורה דומה לפרוסת פיצה.

הגדרה

גזרה במעגל O היא האזור התחום על-ידי:

• שני רדיוסים: OA ו-OB
• קשת AB מ-A ל-B

נוסחאות

עם רדיוס r וזווית מרכזית α במעלות:

אורך קשת

$$L = \frac{\alpha}{360°} \cdot 2\pi r = \frac{\pi r \alpha}{180°}$$

שטח גזרה

$$S = \frac{\alpha}{360°} \cdot \pi r^2 = \frac{\pi r^2 \alpha}{360°}$$

היקף גזרה

$$P = 2r + L$$

(שני הרדיוסים והקשת.)

נוסחאות ברדיאנים (5 יחידות)

אם הזווית α ניתנת ברדיאנים:

$$L = r \alpha$$ $$S = \frac{1}{2} r^2 \alpha$$

נוסחאות נקיות יותר ברדיאנים.

דוגמה 1: חישוב שטח וקשת

גזרה במעגל ברדיוס 6, זווית מרכזית 60°. מצאו את אורך הקשת ואת השטח.

פתרון.

$$L = \frac{60}{360} \cdot 2\pi \cdot 6 = 2\pi$$ $$S = \frac{60}{360} \cdot \pi \cdot 36 = 6\pi$$

דוגמה 2: מציאת זווית

גזרה ברדיוס 5 ושטח 25π/4. מצאו את הזווית המרכזית.

פתרון.

$$\frac{\alpha}{360} \cdot 25 \pi = \frac{25 \pi}{4} \implies \frac{\alpha}{360} = \frac{1}{4} \implies \alpha = 90°$$

דוגמה 3: היקף גזרה

גזרה ברדיוס 4 וזווית 90°. מצאו את ההיקף.

פתרון.

$$L = \frac{90}{360} \cdot 2 \pi \cdot 4 = 2\pi$$ $$P = 2 \cdot 4 + 2\pi = 8 + 2\pi$$

טעויות נפוצות

1. שכחת חלוקה ב-360. הגזרה היא רק חלק מהמעגל, לפי היחס בין הזווית ל-360°.
2. שימוש ברדיאנים כשהזווית במעלות. בחירה עקבית של יחידות.
3. שכחת הרדיוסים בהיקף. ההיקף הוא קשת + שני רדיוסים, לא רק הקשת.

עמודים קשורים

• מעגל
• קטע מעגלי
• משפטי המעגל