קטע מעגלי: שטח ונוסחאות

קטע מעגלי הוא אזור בעיגול שמופרד על-ידי מיתר. הוא החלק של העיגול שבין המיתר לבין הקשת.

הגדרה

קטע מעגלי הוא האזור המוקף בין:

• מיתר AB
• קשת AB (קצרה או ארוכה, תלוי באיזה צד נמצאים)

חישוב שטח

עם רדיוס r וזווית מרכזית α (המתאימה לקשת של הקטע):

$$S = S_{\text{גזרה}} - S_{\text{משולש}}$$

שטח גזרה (כפי שכבר ראינו):

$$S_{\text{גזרה}} = \frac{\alpha}{360°} \cdot \pi r^2$$

שטח משולש שווה-שוקיים שצלעותיו שני הרדיוסים והזווית ביניהם α:

$$S_{\text{משולש}} = \frac{1}{2} r^2 \sin \alpha$$

לכן:

$$S_{\text{קטע}} = \frac{\alpha}{360°} \cdot \pi r^2 - \frac{1}{2} r^2 \sin \alpha$$

אורך מיתר

עם רדיוס r וזווית מרכזית α:

$$m = 2r \sin\left( \frac{\alpha}{2} \right)$$

(מתקבל ממציאת היתר במשולש שווה-שוקיים שנוצר.)

דוגמה 1: שטח קטע

מעגל ברדיוס 8 וזווית מרכזית 90°. מצאו את שטח הקטע הקטן.

פתרון.

$$S_{\text{גזרה}} = \frac{90}{360} \cdot \pi \cdot 64 = 16 \pi$$ $$S_{\text{משולש}} = \frac{1}{2} \cdot 64 \cdot \sin 90° = 32$$ $$S_{\text{קטע}} = 16\pi - 32$$

דוגמה 2: אורך מיתר

מעגל ברדיוס 5 וזווית מרכזית 60°. מצאו את אורך המיתר.

פתרון.

$$m = 2 \cdot 5 \cdot \sin 30° = 10 \cdot 0.5 = 5$$

(מתקבל גם ישירות כי המשולש שווה-צלעות.)

קטע גדול וקטע קטן

מיתר מחלק את העיגול לשני קטעים:

• קטע קטן: זה שהזווית המרכזית שלו פחות מ-180°.
• קטע גדול: זה שהזווית המרכזית שלו יותר מ-180°.

שטח הקטע הגדול ניתן לחישוב כשטח העיגול פחות שטח הקטע הקטן:

$$S_{\text{גדול}} = \pi r^2 - S_{\text{קטן}}$$

טעויות נפוצות

1. חיסור משולש עם שטח שגוי. שטח המשולש דורש זווית בין הרדיוסים, לא זווית הקטע.
2. בלבול בין קטע לגזרה. גזרה כוללת את המשולש. קטע לא.
3. שכחת חלוקה ב-360 בשטח גזרה. תמיד יש לחלק לפי היחס בין הזווית ל-360.

עמודים קשורים

• גזרה
• מעגל
• משפטי המעגל