משוואת מעגל: צורה קנונית וצורה כללית

משוואת מעגל מתארת באלגברה את הצורה הגאומטרית הבסיסית של מעגל: אוסף כל הנקודות במרחק קבוע (רדיוס) ממנקודה קבועה (מרכז).

הצורה הקנונית

מעגל שמרכזו (a, b) ורדיוסו r:

$$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$$

מקרה מיוחד, מרכז בראשית:

$$x^2 + y^2 = r^2$$

הצורה הכללית

$$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$$

מציגה את המעגל אחרי פתיחת הריבועים. ניתן להמיר חזרה לצורה הקנונית בעזרת השלמה לריבוע.

מרכז: (−D/2, −E/2). רדיוס:

$$r = \sqrt{\left( \frac{D}{2} \right)^2 + \left( \frac{E}{2} \right)^2 - F}$$

הוכחה

נקודה (x, y) נמצאת על מעגל ברדיוס r ובמרכז (a, b) אם ורק אם המרחק שלה מ-(a, b) שווה ל-r. לפי נוסחת המרחק:

$$\sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2} = r$$

מעלים שני האגפים בריבוע:

$$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$$

דוגמה 1: זיהוי מצורה קנונית

נתון מעגל (x − 3)² + (y + 4)² = 25. מצאו מרכז ורדיוס.

פתרון. מרכז: (3, −4). רדיוס: 5.

(שימו לב: y plus 4 כלומר y מינוס (מינוס 4), אז ה-b הוא −4.)

דוגמה 2: המרה לצורה קנונית

המירו x² + y² − 6x + 8y − 11 = 0 לצורה קנונית.

פתרון. השלמה לריבוע:

$$(x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 8y + 16) = 11 + 9 + 16$$ $$(x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 36$$

מרכז: (3, −4). רדיוס: 6.

דוגמה 3: משוואת מעגל מנתונים

מעגל עם מרכז (2, 5) עובר בנקודה (6, 8). מצאו את משוואתו.

פתרון. רדיוס = מרחק מהמרכז לנקודה:

$$r = \sqrt{(6-2)^2 + (8-5)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5$$

משוואה:

$$(x - 2)^2 + (y - 5)^2 = 25$$

בדיקה אם משוואה מתארת מעגל

הצורה הכללית מתארת מעגל אם ורק אם הביטוי שתחת השורש ברדיוס חיובי:

$$\left( \frac{D}{2} \right)^2 + \left( \frac{E}{2} \right)^2 - F > 0$$

אם שווה לאפס, המשוואה מציגה נקודה בודדת. אם שלילי, אין פתרון אמיתי.

טעויות נפוצות

1. בלבול בין r ל-r² באגף הימני. במשוואה מופיע r², אבל הרדיוס הוא r.
2. טעות בסימן של המרכז. מרכז של (x − 3)² + (y + 4)² = ... הוא (3, −4), לא (−3, 4).
3. שכחת לבדוק שזה מעגל. אחרי השלמה לריבוע, אם הצד הימני שלילי, אין מעגל.

עמודים קשורים

• המעגל בגאומטריה אנליטית
• נוסחת מרחק
• השלמה לריבוע
• מעגל