תחום לעומת טווח: שני המאפיינים הבסיסיים של פונקציה
תחום ההגדרה הוא קבוצת ערכי x שעבורם הפונקציה מוגדרת. הטווח הוא קבוצת ערכי y שהפונקציה יכולה לקבל. הסבר ההבדל, נוסחאות שכיחות, ודוגמאות.
עודכן ב-27 במאי 2026
תחום וטווח הם שני המאפיינים הבסיסיים של פונקציה. תחום מתאר אילו ערכי x קבילים. טווח מתאר אילו ערכי y הפונקציה לוקחת.
הגדרות
תחום ההגדרה (Domain): קבוצת ערכי x שעבורם הפונקציה f(x) מוגדרת.
טווח (Range): קבוצת ערכי y = f(x) שהפונקציה יכולה לקבל, כאשר x עובר על כל התחום.
דוגמה. פונקציה ריבועית
f(x) = x²:
- תחום: כל הממשיים
ℝ. הריבוע מוגדר לכל x. - טווח:
[0, ∞). הריבוע אף פעם לא שלילי.
ההבדל ברור. התחום הוא כל הממשיים, הטווח רק החצי החיובי.
תחומים שכיחים
| פונקציה | תחום ההגדרה |
|---|---|
| פולינום | כל הממשיים |
1/f(x) | f(x) ≠ 0 |
√f(x) | f(x) ≥ 0 |
ln(f(x)) | f(x) > 0 |
arcsin(f(x)) | −1 ≤ f(x) ≤ 1 |
tan(x) | x ≠ π/2 + kπ |
טווחים שכיחים
| פונקציה | טווח |
|---|---|
aˣ (a > 0) | (0, ∞) |
sin x | [−1, 1] |
cos x | [−1, 1] |
√x | [0, ∞) |
x² | [0, ∞) |
ln x | כל הממשיים |
טבלת השוואה
| תכונה | תחום | טווח |
|---|---|---|
| ציר | x | y |
| ערכים שמוגדרים | התחלה ל-f | תוצאות של f |
| בפונקציה הופכית | חלף עם טווח | חלף עם תחום |
| איך מוצאים | בדיקת תקינות הביטוי | חקירה או הפיכה |
מציאת תחום. דוגמאות
דוגמה 1. f(x) = √(x − 2).
תנאי: x − 2 ≥ 0. אז התחום: x ≥ 2, או [2, ∞).
דוגמה 2. f(x) = 1/(x² − 4).
תנאי: x² − 4 ≠ 0, כלומר x ≠ ±2. תחום: ℝ \ {−2, 2}.
דוגמה 3. f(x) = ln(x − 1) + √(5 − x).
תנאים:
x − 1 > 0:x > 1.5 − x ≥ 0:x ≤ 5.
חיתוך: (1, 5].
מציאת טווח. דוגמאות
דוגמה 1. f(x) = x² + 3.
הריבוע אי-שלילי, אז f(x) ≥ 3. טווח: [3, ∞).
דוגמה 2. f(x) = 2 sin x + 1.
sin x בתחום [−1, 1], אז 2 sin x בתחום [−2, 2]. ועם +1: בתחום [−1, 3]. טווח: [−1, 3].
דוגמה 3. f(x) = 1/(x² + 1).
המכנה תמיד גדול או שווה ל-1, אז המנה בתחום (0, 1]. (השוויון ב-1 ב-x = 0, השאיפה ל-0 באינסוף.) טווח: (0, 1].
פונקציה הופכית. החלפה
בפונקציה הופכית, תחום והטווח מתחלפים:
- תחום של
f⁻¹= טווח שלf. - טווח של
f⁻¹= תחום שלf.
זוהי תכונה שימושית כשקשה למצוא את הטווח של f ישירות. ראו שכחת החלפת תחום וטווח בפונקציה הופכית.
בעיות עם תחום וטווח מוגבלים
אם השאלה מגבילה את התחום, מוצאים את הטווח באמצעות חקירת מקסימום ומינימום בקטע.
דוגמה. מצאו טווח של f(x) = x² − 4x + 3 בקטע [0, 5].
קודקוד פרבולה: x = 2, f(2) = −1. בקצוות: f(0) = 3, f(5) = 8.
טווח: מהקטן (−1) לגדול (8), כלומר [−1, 8].