שכחת תחום ההגדרה בלוגריתם: טעות שמייצרת פתרון פסול

לוגריתם מוגדר רק על ביטוי חיובי ממש. כל שאלה שמערבת log או ln חייבת להתחיל ברישום תחום ההגדרה. שכחת השלב הזה היא טעות נפוצה שמייצרת פתרון מיותר.

התחום של log

לפונקציה log_a(u) תחום ההגדרה הוא:

$$u > 0$$

זה תקף לכל בסיס a > 0, a ≠ 1, כולל ln (לוגריתם טבעי) ו-log_{10}.

הטעות הקלאסית

פתרו: log(x − 3) + log(x + 1) = log(5).

טעות:

$$\log((x-3)(x+1)) = \log(5) \implies (x-3)(x+1) = 5$$ $$x^2 - 2x - 3 = 5 \implies x^2 - 2x - 8 = 0 \implies (x-4)(x+2) = 0$$

התלמיד מקבל x = 4 או x = −2 ומסיים.

מה שגוי. x = −2 נופל מחוץ לתחום. אם נציב במשוואה המקורית: log(−5) + log(−1) לא מוגדר. צריך לרשום את התחום מראש.

פתרון נכון. תחום ההגדרה: x − 3 > 0 וגם x + 1 > 0. השני הוא חלש יותר, אז התחום: x > 3. לכן x = −2 לא קביל. הפתרון היחיד: x = 4.

איך להימנע

1. לפני כל פעולה, רשמו את התחום של כל לוגריתם בשאלה.
2. חברו את התנאים עם "וגם". התחום הסופי הוא חיתוך כל התנאים.
3. לאחר פתרון, סננו פתרונות שלא בתחום. רשמו במפורש: "x = −2 לא קביל כי x > 3 לא מתקיים".

תחומים נפוצים

הביטוי האחרון מוגדר תמיד כי x² + 1 חיובי לכל x.

אי-שוויון לוגריתמי

באי-שוויון, התחום הוא קריטי. למשל, log(x − 1) > log(3). תחום: x > 1. הפתרון של אי-השוויון: x − 1 > 3, או x > 4. אבל תמיד מצליבים עם התחום: סופית, x > 4. תמיד בודקים שהפתרון בתוך התחום.

עמודים קשורים

• משוואה לוגריתמית
• חוקי לוגריתם
• שינוי בסיס
• חקירת פונקציה לוגריתמית