חוקי לוגריתמים לבגרות: מכפלה, מנה, חזקה, ושינוי בסיס

חוקי הלוגריתמים מכילים כל פעולה שניתן לעשות עם לוגריתמים. הם הכלי הראשי לפתרון משוואות לוגריתמיות ולפישוט ביטויים מורכבים.

הגדרת לוגריתם

עבור בסיס a חיובי שונה מאחד וארגומנט x חיובי:

$$\log_a x = y \iff a^y = x$$

חוקי הלוגריתמים

1. לוג של מכפלה

$$\log_a (x \cdot y) = \log_a x + \log_a y$$

2. לוג של מנה

$$\log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$$

3. לוג של חזקה

$$\log_a (x^n) = n \cdot \log_a x$$

4. שינוי בסיס

$$\log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a}$$

ראו שינוי בסיס להעמקה.

5. לוג של אחד

$$\log_a 1 = 0$$

6. לוג של הבסיס עצמו

$$\log_a a = 1$$

7. כפל הפוך

$$a^{\log_a x} = x$$ $$\log_a (a^x) = x$$

דוגמה 1: פישוט

פשטו: log_2 8 + log_2 4.

פתרון.

$$\log_2 8 + \log_2 4 = \log_2 (8 \cdot 4) = \log_2 32 = 5$$

דוגמה 2: משוואה לוגריתמית

פתרו: log_3(x − 1) + log_3(x + 1) = 1.

פתרון. איחוד הלוגריתמים:

$$\log_3 [(x-1)(x+1)] = 1 \implies (x-1)(x+1) = 3^1 = 3$$ $$x^2 - 1 = 3 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$$

בדיקת תחום: צריך x − 1 > 0 ו-x + 1 > 0. פסול x = −2. הפתרון x = 2.

דוגמה 3: שינוי בסיס

חשבו log_8 32 ללא מחשבון.

פתרון. נמיר לבסיס 2:

$$\log_8 32 = \frac{\log_2 32}{\log_2 8} = \frac{5}{3}$$

טעויות נפוצות

1. חישוב log(x + y) כ-log x + log y. שגוי! רק לוג של מכפלה מתפצל, לא לוג של סכום.
2. שכחת תחום ההגדרה. הארגומנט של לוג חייב להיות חיובי. פתרון שמוביל לארגומנט שלילי או אפס פסול.
3. שכחת חוק חזקה הפוך. הנוסחה log a (xⁿ) = n · log_a x תקפה גם אם n הוא שבר או שלילי.

עמודים קשורים

• שינוי בסיס לוגריתמים
• חוקי חזקות
• משוואות אלגבריות