חוקי חזקות לבגרות: כל החוקים עם דוגמאות

חוקי החזקות הם בסיס כל פעולה אקספוננציאלית. שליטה בהם מאפשרת לפשט ביטויים מורכבים ולפתור משוואות אקספוננציאליות.

שמונת החוקים העיקריים

1. כפל באותו בסיס

$$a^x \cdot a^y = a^{x+y}$$

2. חילוק באותו בסיס

$$\frac{a^x}{a^y} = a^{x-y}$$

3. חזקה של חזקה

$$(a^x)^y = a^{x \cdot y}$$

4. חזקה של מכפלה

$$(a \cdot b)^x = a^x \cdot b^x$$

5. חזקה של מנה

$$\left( \frac{a}{b} \right)^x = \frac{a^x}{b^x}$$

6. חזקה אפס

$$a^0 = 1, \quad a \neq 0$$

7. חזקה שלילית

$$a^{-x} = \frac{1}{a^x}$$

8. חזקה רציונלית (קשר לשורש)

$$a^{1/n} = \sqrt[n]{a}, \quad a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$$

מקרים מיוחדים

דוגמה 1: פישוט

פשטו: (2x³)² · (2x)⁻¹.

פתרון.

$$(2x^3)^2 = 4 x^6$$ $$(2x)^{-1} = \frac{1}{2x}$$ $$4x^6 \cdot \frac{1}{2x} = \frac{4x^6}{2x} = 2 x^5$$

דוגמה 2: משוואה אקספוננציאלית

פתרו: 2^{x+1} = 16.

פתרון. 16 = 2⁴:

$$2^{x+1} = 2^4 \implies x + 1 = 4 \implies x = 3$$

דוגמה 3: חזקה רציונלית

פשטו: 8^{2/3}.

פתרון. חזקה רציונלית כשורש:

$$8^{2/3} = (8^{1/3})^2 = 2^2 = 4$$

או:

$$8^{2/3} = \sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{64} = 4$$

טעויות נפוצות

1. חיבור חזקות במקום הכפלת בסיסים שונים. 2² + 2³ שווה ל-12 (סכום של 4 ו-8). זה לא שווה ל-2⁵.
2. שכחת חוק חזקה אפס. a⁰ = 1 לכל a שונה מאפס.
3. שכחת ש-a⁻ˣ הוא 1 חלקי aˣ, לא שלילי של aˣ.
4. חישוב (a+b)ⁿ כ-aⁿ + bⁿ. שגוי! אם n שווה ל-2, נשתמש בנוסחאות הכפל המקוצר.

עמודים קשורים

• חוקי לוגריתמים
• נוסחאות הכפל המקוצר
• אלגברה