נוסחת שינוי בסיס לוגריתם: log_a x = log_b x / log_b a

נוסחת שינוי בסיס לוגריתם מאפשרת להמיר לוג מבסיס אחד לבסיס אחר. שימושית במיוחד במשוואות עם בסיסים שונים ובחישובי לוג במחשבון.

הנוסחה

עבור כל בסיס a חיובי שונה מאחד וכל בסיס b חיובי שונה מאחד:

$$\log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a}$$

מקרים פרטיים שימושיים

לבסיס 10

$$\log_a x = \frac{\log x}{\log a}$$

כאשר log בלי בסיס מציין לוגריתם בבסיס 10.

לבסיס e (לוג טבעי)

$$\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}$$

זוהי הצורה הנפוצה במחשבון, אם כי בבגרות בדרך כלל עובדים עם בסיס 10.

הוכחה

נסמן y = log_a x. אז a^y = x. נפעיל לוג בבסיס b על שני האגפים:

$$\log_b (a^y) = \log_b x \implies y \cdot \log_b a = \log_b x$$

מחלקים ב-log_b a:

$$y = \frac{\log_b x}{\log_b a}$$

דוגמה 1: שינוי בסיס לחישוב

חשבו log_5 100 במחשבון.

פתרון. משנים בסיס ל-10:

$$\log_5 100 = \frac{\log 100}{\log 5} = \frac{2}{0.699} \approx 2.861$$

דוגמה 2: משוואה עם שני בסיסים

פתרו: log_2 x + log_4 x = 3.

פתרון. משנים את log_4 x ל-log_2:

$$\log_4 x = \frac{\log_2 x}{\log_2 4} = \frac{\log_2 x}{2}$$

המשוואה הופכת ל-:

$$\log_2 x + \frac{\log_2 x}{2} = 3 \implies \frac{3}{2} \log_2 x = 3 \implies \log_2 x = 2$$ $$x = 4$$

דוגמה 3: שינוי בסיס מהפך

הוכיחו: log_a b · log_b a = 1.

פתרון. משנים בסיס:

$$\log_a b = \frac{\log b}{\log a}, \quad \log_b a = \frac{\log a}{\log b}$$

המכפלה:

$$\log_a b \cdot \log_b a = \frac{\log b}{\log a} \cdot \frac{\log a}{\log b} = 1$$

טעויות נפוצות

1. שכחת מי מהבסיסים החדש ומי הישן. בנוסחה הבסיס החדש (b) הוא הבסיס בלוגריתם של המונה וגם של המכנה.
2. חלוקה לא נכונה. המכנה הוא log_b a (לוג של הבסיס הישן בבסיס החדש), לא להפך.
3. שימוש בנוסחה כשאחד הבסיסים שווה ל-1 או לא חיובי. הנוסחה דורשת שני בסיסים חיוביים שונים מ-1.

עמודים קשורים

• חוקי לוגריתמים
• חוקי חזקות
• משוואות אלגבריות