משוואה לוגריתמית: שיטת פתרון, תחום הגדרה, ודוגמאות

משוואה לוגריתמית מערבת פונקציה לוגריתמית של המשתנה. הקושי המרכזי: תחום ההגדרה של הלוגריתם.

תבנית

צורות אופייניות:

• log_a(f(x)) = b (יחיד)
• log_a(f(x)) = log_a(g(x)) (השוואה)
• log_a(f(x)) + log_a(g(x)) = c (איחוד)
• (log_a x)² = ... (משוואה ריבועית בלוג)

שיטת הפתרון

1. קבעו תחום הגדרה: כל ארגומנט של לוג בשאלה חייב להיות חיובי.
2. השתמשו ב-חוקי לוגריתמים לאחד לוגריתמים.
3. הסירו את הלוגריתם: או על-ידי הצבת בסיס בחזקה, או על-ידי השוואה (log_a f = log_a g ⇒ f = g).
4. פתרו את המשוואה האלגברית שמתקבלת.
5. בדקו שכל הפתרונות בתחום ההגדרה.

דוגמה 1: בסיסית

פתרו: log_2(x − 1) = 3.

פתרון. תחום: x > 1.

$$x - 1 = 2^3 = 8 \implies x = 9$$

נכון ב-תחום.

דוגמה 2: איחוד לוגריתמים

פתרו: log_3 x + log_3(x − 8) = 2.

פתרון. תחום: x > 0 וגם x > 8, כלומר x > 8.

איחוד:

$$\log_3 [x(x - 8)] = 2 \implies x(x - 8) = 9 \implies x^2 - 8x - 9 = 0$$

לפי נוסחת השורשים: x = 9 או x = -1. רק x = 9 בתחום.

דוגמה 3: ריבועית בלוג

פתרו: (log x)² − 3 log x + 2 = 0.

פתרון. תחום: x > 0. הצבה t = log x:

$$t^2 - 3t + 2 = 0 \implies t = 1 \text{ או } t = 2$$

חזרה: log x = 1 ⇒ x = 10. log x = 2 ⇒ x = 100. שניהם בתחום.

דוגמה 4: השוואת לוגריתמים בבסיסים שונים

פתרו: log_2 x + log_4 x = 6.

פתרון. תחום: x > 0. שינוי בסיס: log_4 x = log_2 x / 2.

$$\log_2 x + \frac{\log_2 x}{2} = 6 \implies \frac{3 \log_2 x}{2} = 6$$ $$\log_2 x = 4 \implies x = 16$$

טעויות נפוצות

1. דילוג על בדיקת תחום ההגדרה. הטעות הכי שכיחה. תמיד לבדוק שהפתרון לא הופך ארגומנט של לוג לאי-חיובי.
2. חישוב log(x + y) כ-log x + log y. שגוי! רק לוג של מכפלה מתפצל.
3. שכחת מקרה בו ארגומנט אפסי. אם השאלה נותנת log(x − 5) = ..., צריך x − 5 > 0, לא רק x − 5 ≠ 0.

עמודים קשורים

• חוקי לוגריתמים
• שינוי בסיס
• משוואה אקספוננציאלית
• משוואות