משוואה אקספוננציאלית: שיטות פתרון ודוגמאות

משוואה אקספוננציאלית היא משוואה שבה המשתנה מופיע כחזקה. שלוש שיטות פתרון עיקריות.

תבנית

צורות אופייניות:

• aˣ = b (יחיד)
• aˣ = aʸ (השוואת בסיסים)
• a^{2x} + p · aˣ + q = 0 (משוואה ריבועית עם הצבה)
• aˣ = bˣ עם a ≠ b (לוג)

שיטה 1: השוואת בסיסים

אם ניתן להביא את שני האגפים לאותו בסיס, החזקות שוות:

$$a^{f(x)} = a^{g(x)} \implies f(x) = g(x)$$

שיטה 2: הצבה אלגברית

כשרואים את aˣ ו-a^{2x} באותה משוואה, מציבים t = aˣ. המשוואה הופכת לרציונלית או ריבועית.

שיטה 3: לוג של שני אגפים

כשאי-אפשר להביא לבסיס משותף:

$$a^{f(x)} = b \implies f(x) \log a = \log b$$

דוגמה 1: השוואת בסיסים

פתרו: 2^{x+1} = 8.

פתרון. 8 = 2³:

$$2^{x+1} = 2^3 \implies x + 1 = 3 \implies x = 2$$

דוגמה 2: הצבה אלגברית

פתרו: 2^{2x} − 5 · 2^x + 4 = 0.

פתרון. הצבה t = 2^x (חיובי תמיד):

$$t^2 - 5t + 4 = 0 \implies (t - 1)(t - 4) = 0 \implies t = 1 \text{ או } t = 4$$

חזרה: 2^x = 1 ⇒ x = 0. 2^x = 4 ⇒ x = 2.

דוגמה 3: לוג של שני האגפים

פתרו: 3^x = 7.

פתרון.

$$x \log 3 = \log 7 \implies x = \frac{\log 7}{\log 3} \approx \frac{0.8451}{0.4771} \approx 1.771$$

דוגמה 4: עם פירוק לחזקות

פתרו: 9^x − 3^{x+1} = 0.

פתרון. 9 = 3² ו-3^{x+1} = 3 · 3^x:

$$3^{2x} - 3 \cdot 3^x = 0 \implies 3^x (3^x - 3) = 0$$

3^x תמיד חיובי, אז 3^x = 3 ⇒ x = 1.

טעויות נפוצות

1. חלוקה ב-a^x בלי לזכור ש-a^x תמיד חיובי. אין אפשרות שזה אפס, אבל זה בהחלט אפשרי שחלוקה תאבד מידע על המבנה.
2. שכחת בדיקה ש-t > 0 בהצבה. ב-t = a^x, ערך t תמיד חיובי. אם נוסחת השורשים נותנת t שלילי, הוא לא פתרון.
3. שימוש בלוג בלי בדיקת תחום. הארגומנט של לוג חייב להיות חיובי.

עמודים קשורים

• חוקי חזקות
• חוקי לוגריתמים
• משוואה לוגריתמית
• משוואות