חקירת פונקציה לוגריתמית: תחום, אסימפטוטה, ושרטוט

חקירת פונקציה לוגריתמית היא חקירה של פונקציה שמכילה ln או לוגריתם כלשהו של המשתנה. הקושי המרכזי: תחום הגדרה ואסימפטוטות אנכיות.

תבנית

צורות אופייניות:

• f(x) = ln x (בסיסי)
• f(x) = ln(g(x))
• f(x) = x · ln x
• f(x) = ln x / x

שלבי החקירה

1. תחום הגדרה

הארגומנט של כל לוג חייב להיות חיובי.

2. נקודות חיתוך

• ציר y: f(0) (אם מוגדר)
• ציר x: f(x) = 0

3. אסימפטוטה אנכית

כאשר הארגומנט של לוג שואף לאפס, הלוג שואף ל-−∞. נוצרת אסימפטוטה אנכית בקצה התחום.

4. נגזרת

לפי חוק השרשרת:

$$(\ln g(x))' = \frac{g'(x)}{g(x)}$$

5. אסימפטוטות אופקיות

כאשר x → ∞, ln x → ∞ לאט מאוד.

דוגמה: חקירת f(x) = ln x / x

תחום

x > 0 (תחום של ln).

חיתוכים

• ציר y: לא מוגדר ב-x = 0.
• ציר x: ln x / x = 0 ⇒ ln x = 0 ⇒ x = 1. נקודה: (1, 0).

נגזרת

חוק המנה:

$$f'(x) = \frac{(1/x) \cdot x - \ln x}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}$$

f'(x) = 0 ⇒ 1 − ln x = 0 ⇒ ln x = 1 ⇒ x = e.

• ב-0 < x < e: f'(x) > 0, עולה.
• ב-x > e: f'(x) < 0, יורדת.
• ב-x = e: מקסימום. f(e) = 1/e ≈ 0.368.

אסימפטוטות

• כאשר x → 0⁺, ln x → −∞, x → 0⁺, אז f → −∞. אסימפטוטה אנכית: x = 0.
• כאשר x → ∞, ln x גדל לאט יותר מ-x, אז ln x / x → 0. אסימפטוטה אופקית: y = 0.

שרטוט

הפונקציה עולה מ-−∞ (אסימפטוטה אנכית ב-x = 0) ועוברת ב-(1, 0), מגיעה למקסימום ב-(e, 1/e), ואז יורדת לכיוון אסימפטוטה אופקית y = 0.

דוגמה 2: עם תחום מוגבל

חקרו f(x) = ln(x² − 1).

תחום

x² − 1 > 0 ⇒ x < −1 או x > 1.

חיתוכים

• ציר y: לא מוגדר.
• ציר x: ln(x² − 1) = 0 ⇒ x² − 1 = 1 ⇒ x = ±√2.

אסימפטוטות אנכיות

x² − 1 → 0 כש-x → ±1. אסימפטוטות אנכיות: x = 1 ו-x = −1.

נגזרת

$$f'(x) = \frac{2x}{x^2 - 1}$$

• ב-x > 1: f'(x) > 0, עולה.
• ב-x < −1: f'(x) < 0, יורדת.

הפונקציה סימטרית סביב ציר ה-y.

טעויות נפוצות

1. שכחה לפתור g(x) > 0 בתחום. הלוגריתם דורש ארגומנט חיובי ממש.
2. בלבול בין ln x → −∞ ו-ln x → ∞. ln x → ∞ כש-x → ∞. ln x → −∞ כש-x → 0⁺.
3. חישוב נגזרת שגויה. נגזרת ln g(x) היא g'(x) / g(x), לא 1 / g(x).

עמודים קשורים

• חקירת פונקציה
• חוקי לוגריתמים
• טבלת נגזרות
• חדו"א